Ұзақ уақыт бойы ықтималдықтар теориясы алмады нақты анықтау, ол әзірленді тек 1929-жылы. Пайда болуы ықтималдықтар теориясы ғылым ретінде жатқызады орта ғасырға және бірінші талпыныстары математикалық талдау құмар ойындар (орлянка, сүйек, рулетка). Француз математика XVII ғасырдың Блез Паскаль және Пьер Ферма, зерттей болжау ұтысты құмар ойындарға ашты алғашқы ықтималдық заңдылықтары кезінде туындайтын бросании сүйек.

Ықтималдық теориясы туындады ғылым ретінде бірі-сендіру, бұқаралық кездейсоқ оқиғалар жатыр белгілі бір заңдылықтары. Ықтималдықтар теориясы зерттейді деректер заңдылықтары.

Ықтималдықтар теориясы зерттеумен айналысады оқиғалардың басталуына, олардың шынайы белгісіз. Ол туралы пікір айтуға мүмкіндік береді дәрежесі ықтималдығы бір оқиғаның басқа салыстырғанда.

Мысалы: айқындауға сөзсіз нәтижесі көтен “бүркіт” немесе “решки” нәтижесінде подбрасывания монеталар болмайды, бірақ при многократном подбрасывании-шашын шамамен бірдей саны “орлов” және “решек” дегенді білдіреді болу ықтималдығы балансы “орел” немесе “решка”, 50% тең.

Сынақ бұл жағдайда деп аталады іске асыру белгілі бір жағдайлар кешенін, яғни подбрасывание монеталар. Сынау ойнату мүмкін шексіз рет. Бұл ретте кешені шарттарын қамтиды кездейсоқ факторлар.

Нәтижесі сынақ болып табылады оқиға. Оқиға болады:

Дұрыс (әрдайым сынау нәтижесінде);
Невозможное (ешқашан жүреді);
Кездейсоқ (болуы мүмкін немесе нәтижесінде болуы мүмкін сынақтар).
Мысалы, кезінде подбрасывании монеталар невозможное оқиға — монета болады қабырға, кездейсоқ оқиға — жоғалту “бүркіт” немесе “решки”. Нақты сынақ нәтижесі деп аталады қарапайым оқиға. Сынау нәтижесінде орын ғана қарапайым оқиғалар. Жиынтығы барлық ықтимал, әр түрлі, нақты нәтижелерінің сынау деп аталады элементар оқиғалар кеңістігі.

Теориясының негізгі түсініктері
Ықтималдығы дәрежесі мүмкіндігі шығарылған оқиғалар. Кезде негіздер үшін қандай да бір ықтимал оқиға шындыққа перевешивают қарама-қарсы негіздері, онда бұл оқиға деп атайды ықтимал, олай болмаған жағдайда екіталай немесе керемет.

Кездейсоқ шама — бұл-шама сынау нәтижесінде мүмкін болса, мәні де белгісіз, алдын ала қандай. Мысалы: саны өрт станциясына тәулігіне саны түсу кезінде 10 выстрелах және т. б.

Кездейсоқ шаманың екі санатқа бөлуге болады.

Дискретті кездейсоқ шама деп аталады шамасы, сынау нәтижесінде мүмкін қабылдау белгілі бір маңызы бар белгілі бір ықтималдықпен құрайтын счетное көптеген (көптеген элементтері, оның мүмкін занумерованы). Бұл көптеген мүмкін соңғы және шексіз. Мысалы, саны атыс дейін қолданысқа түсуін мақсаты болып табылады дискретті кездейсоқ шама, бұл шама қабылдай алады және шексіз, бірақ счетное мәнінің саны.
Үздіксіз кездейсоқ шама деп аталады шамасы, ол қабылдай алады, кез келген маңызы бар кейбір соңғы немесе шексіз аралық. Әлбетте, бұл саны болуы мүмкін мәндер үздіксіз кездейсоқ шаманың шексіз.
Ықтималдықтар кеңістігі түсінігін енгізген А. Н. Колмогоровым 30-х годах XX века үшін формализациялау түсінігі ықтималдығы, ол берді начало серпінді дамуына ықтималдықтар теориясы ретінде қатаң математикалық пән.

Ықтималдықтар кеңістігі — бұл үштік Формула-1 (кейде обрамляемая бұрыштық скобками: Бұрыштық жақшалар,

• ол өз бетімен көптеген элементтері, оның элементарлы деп аталады оқиғаларға исходами немесе нүкте;
• — сигма-алгебра подмножеств деп аталатын (кездейсоқ) оқиғаларды;
• — вероятностная мера немесе ықтималдығы, яғни сигма-аддитивті соңғы шара, осындай .

Теорема Муавра — Лаплас бірі — шекті теоремалар ықтималдықтар теориясы орнатылды Лапласом 1812 жылы. Ол бекітеді, бұл саны табыс при многократном айырады бір кездейсоқ эксперимент екі ықтимал исходами шамамен бар қалыпты бөлу. Ол табуға мүмкіндік береді жақын мәні ықтималдығы.

Егер әрбір тәуелсіз сынаулар ықтималдығын пайда кейбір кездейсоқ оқиғалар тең () — саны сынақтар, іс жүзінде басталады, онда ықтималдығы әділдік теңсіздікті жақын (үлкен ) мәніне интеграл Лаплас.

Функция бөлу ықтималдықтар теориясы — функция сипаттайтын бөлу кездейсоқ шамалар кездейсоқ жойылу немесе кездейсоқ вектор; ықтималдығы кездейсоқ шама X қабылдайды маңызы аз немесе тең х, мұндағы х — ерікті нақты сан. Кезде белгілі жағдай толығымен анықтайды случайную шамасын.

Математикалық күту орташа мәні кездейсоқ шамасының (бұл бөлу кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының қаралады ықтималдықтар теориясы). Ағылшын әдебиеті арқылы белгіленеді , орыс — . Статистика жиі пайдаланады белгісі .

Болсын қойылды ықтималдықтар кеңістігі және белгілі онда кездейсоқ шама . Яғни, анықтау бойынша, — измеримая функциясы. Содан кейін, егер бар лебег интегралы бойынша кеңістік , онда ол деп аталады математикалық күтуге, немесе орташа мәнімен және белгіленеді .

Дисперсиясы кездейсоқ шамалар — шара бөліктері шашылған осы кездейсоқ шаманың, яғни оның ауытқу математикалық күту. Белгіленеді орыс әдебиетінен және шетелдік. Статистикада жиі қолданылады белгісі немесе . Квадрат түбірі бірі-дисперсия деп аталады среднеквадратичным ауытқуы, стандартты ауытқуы немесе стандартты разбросом.

Болсын — кездейсоқ шама, белгілі бірнеше вероятностном кеңістікте. Сонда

мұнда символы білдіреді математикалық күту.

“Ықтималдықтар теориясы екі кездейсоқ оқиғалар тәуелсіз деп аталады, егер туындағанын олардың біреуінің өзгертпейді болу ықтималдығы басқа. Сол сияқты, екі кездейсоқ шамалар деп атайды тәуелді, егер мән олардың бірі әсер етеді ықтималдық мәндерін басқа.

Шартты ықтималдығы ықтималдығы бір оқиғаның болған жағдайда, басқа оқиға қазірдің өзінде болды.

Болсын — бекітілген ықтималдықтар кеңістігі. Берсін екі кездейсоқ оқиғалар, әрі . Сол кезде шартты ықтималдығы оқиғалар кезінде болған оқиғалар деп аталады
.
Үлкен сандар заңы — бұл топ теоремаларды белгілейтін тұрақтылық орта нәтижелерін үлкен санының кездейсоқ құбылыстар мен себебін түсіндіретін бұл тұрақтылық.

Простейшая нысаны заң үлкен сандар – бұл теорема Бернулли, растайтын болса, оқиғаның ықтималдығы бірдей барлық сынақтар, онда санының артуымен сынақтардың жиілігі оқиғалар ұмтылады ықтималдығы оқиғалар мен болудан кездейсоқ.

Үлкен сандар заңы ” ықтималдықтар теориясы бекітеді, бұл орташа арифметикалық түпкілікті таңдау из тіркелген бөлу жақын теориялық орташа математикалық тосу бұл бөлу. Түріне байланысты жинақтылық, ажыратады әлсіз үлкен сандар заңы қашан орын жинақталуы бойынша ықтималдық және күшейтілген үлкен сандар заңы қашан орын жинақталуы дерлік.

Жалпы мағынасы заңы үлкен сандар — бірлескен қолданысқа үлкен санының бірдей және тәуелсіз кездейсоқ факторлардың нәтижесіне, шегі жоқ зависящему желтоқсандағы жағдай.

Осы қасиетінде негізделген бағалау әдістері ықтималдығын талдау негізінде түпкілікті таңдау. Көрнекі үлгісі болып табылады болжау сайлау нәтижелері негізінде сауалнама таңдау сайлаушылар.

Орталық шектік теоремалары — сынып теоремаларды ” ықтималдықтар теориясы деп мəлімдеді сомасы жеткілікті үлкен санының нашар тәуелді кездейсоқ шамаларды бар шамамен бірдей ауқымы (ешқайсысы бірден басымдылыққа ие емес, енгізеді сомасын анықтайтын салым) бөлу, жақын қалыпты.

Өйткені көптеген кездейсоқ шамалар қосымшаларда ықпалымен қалыптасады бірнеше нашар тәуелді, кездейсоқ факторлардың, олардың бөлу қалыпты деп санайды. Бұл ретте сақталуға тиіс шарттары, бірде-бір факторлардың бірі болып табылады үстем. Орталық шектік теоремалар бұл жағдайларда негіздейді қолдану қалыпты бөлу.Пайда болуы ықтималдықтар теориясы ғылым ретінде жатқызады орта ғасырға және бірінші талпыныстары математикалық талдау құмар ойындар (орлянка, сүйек, рулетка). Алғашында оның негізгі түсініктері болмаған қатаң математикалық түрін, оларға қалай қарауға кейбір эмпирическим фактілер, қасиеттері нақты оқиғалар, және олар формулировались көрнекі көріністе. Ең ертедегі ғалымдар саласында ықтималдықтар теориясы жатады XVII ғасырда. Зерттей болжау ұтысты құмар ойындарға, Блез Паскаль және Пьер Ферма ашылды алғашқы ықтималдық заңдылықтары кезінде туындайтын бросании сүйек[1]. Әсерінен көтерілген және қаралатын олар мәселелерді шешімімен сол міндеттерді айналысты және Христиан Гюйгенс. Бұл ретте, хат алмасу Паскаль және Ферма ол белгісі жоқ, сондықтан әдістемесін, шешімді өз бетінше ойлап. Оның жұмысы, оған енгізілетін негізгі ұғымдары ықтималдықтар теориясы (ықтималдық түсінігі ретінде шамасын мүмкіндігі; математикалық күту дискретті жағдайларды түріндегі бағалар мүмкіндігі), сондай-ақ пайдаланылады ықтималдықтарды қосу формулалары (тұжырымдалған анық), яғни, баспа түрінде жиырма жыл бұрын (1657 жылы) шығару хат Паскаль және Ферма (1679 жыл)[2].

Перде астында ұзақ жазғы каникул уақыты ақырындап оралып жоғары математика және салтанатты түрде ашу бос вердовский файл үшін құруға кірісу жаңа бөлімнің ықтималдықтар Теориясы және математикалық статистика. Мойындаймын, оңай емес беріледі, бірінші орында, бірақ бірінші қадам – бұл жынысы жолдары, сондықтан ұсынамын барлық мұқият проштудировать кіріспе мақала, содан кейін игеруге тақырыбында 2 есеге оңай! Естілген жоқ преувеличиваю. …Кезекті 1 қыркүйек вспоминается бірінші сынып әліппе…. Әріптер қалыптасады да буындар, буындар, сөздерден қысқа ұсыныс – Анам сабын рамаға. Совладать с тервером және математикалық статистика сияқты оңай оқып үйрену! Алайда, бұл үшін білу қажет негізгі терминдер, ұғымдар мен белгілер, сондай-ақ кейбір арнайы ережелер, оларға арналып берілген сабақ.

Бірақ алдымен менің құттықтауымды қабыл алыңыздар басымен (жалғасы, аяқталуы, қажеттісін көрсету керек) оқу жылының сыйлық қабыл алыңыздар. Ең жақсы сыйлық – бұл кітап, өздік жұмыс үшін сізге келесі әдебиеттер:

1) ықтималдықтар Теориясы және математикалық статистика

Легендарное оқу құралы, выдержавшее он переизданий. Ерекшеленеді доходчивостью және шекті қарапайым материалды баяндау, алғашқы басшысы сондай-ақ, тіпті қол жетімді, менің ойымша, қазірдің өзінде үшін 6-7 сынып оқушылары.

2) Хасеинов В. Е. – алматы: мектеп, ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика

Решебник сол Владимир Ефимович отырып, егжей-тегжейлі разобранными мысалдар мен міндеттері.

МІНДЕТТІ түрде закачайте екі кітап Интернеттен немесе раздобудьте олардың қағаз түпнұсқалары! Жаныңызға нұсқа 60-70-жылдардың, тіпті жақсы шайнектің үшін. Дегенмен сөз “ықтималдықтар теориясы шайнектің үшін” естіледі өте қой, өйткені барлық дерлік шектеледі қарапайым арифметическими әрекеттерімен. Проскакивают, рас, кей жерлерде туындылары мен интегралдар, бірақ бұл тек кей жерлерде.

Мен тырысамын қол жеткізуге, сол мазмұндаудың, бірақ ескертуі керек, бұл менің курс бағдарланған міндеттерді шешу және теориялық есептеулер жоққа шықты. Осылайша, егер қажет кең көлемді теория, теоремаларды дәлелдеу (теоремаларды-теоремаларды!), хабарласыңыз оқулыққа. Ал кім қалайды үйрену бойынша міндеттерді шешу ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика ең қысқа мерзімде, follow!

Ұсынылатын тәртібі зерттеу тақырыптары:
Бұл мақала;
Міндеттері комбинаторике. Мысалдар шешімдер;
Міндеттері ықтималдықтың классикалық анықтамасы;
Геометриялық ықтималдығын айқындау;
Ықтималдықтарды қосу формулалары;
Тәуелді оқиғалар;
Толық ықтималдық формуласы және дербес туындылар;
Тәуелсіз және сынау Бернулли формуласы;
Локальды және интегралдық теоремалары Лаплас;
Статистикалық анықтау ықтималдығы.

Бастау үшін жеткілікті =)

Қарай оқу мақала орынды танысуға (ең болмағанда жүгіртіп) қосымша міндеттері қаралған. Бетінде Дайын шешімнің жоғары математика бойынша орналастырылатын болады тиісті pdf ки мысалдар шешімдер. Сондай-ақ, айтарлықтай көмек көрсетеді ИДЗ 18.1 Рябушко (оңайырақ) және прорешанные ИДЗ жинағы бойынша Чудесенко (қиынырақ).

Сонымен қатар, қоймада математикалық формулалар мен кестелер пайдалы ашу/закачать/басып шығару қосалқы анықтамалық файлдар – Негізгі формулалар комбинаторика және Негізгі формулалар ықтималдықтар теориясы..

Сонымен, жол көрсеткіштері жарыс аяқталды, және біз бастаймыз жолын ықтималдықтар теориясы, оны бірнеше рет сұрағанбыз, жарықтандыруға сайт қонақтары.

Бірінші және өте маңызды. Бұл бұл ғылым зерттейді? Көптеген басына шығар келді ой тәрізді “ықтималдығы жаңбыр зор”, “ықтималдық лоторея ұтысы аз”, “орел и решка алдым ықтималдылығы 50 де 50” және т. б. Бірақ сол кезде бірден сұрақ туындайды, бұл ғылым? Яғни, дәл қазір алыңыз қолына монетасын және қандай гранью ол өтуімен кейін лақтыру керек? …Мүлдем ұқсас теориясын – дұрысы, қандай да бір гадание….

Және шын мәнінде, обывательское түсіну ықтималдығы көбірек смахивает арналған әлдебір болжау жиі изрядной үлестерін мистицизма және суеверий. Теориясы сол ықтималдықтар зерттейді, ықтималдық заңдылықтары жаппай біртекті кездейсоқ оқиғалар. Яғни, жоқ мақсаты не тап, мысалы, нәтиже лақтыру сол монетаның жеке тәжірибеге қатысты. Алайда, егер бір және сол монетасын бірдей жағдайда подбрасывать жүздеген және мыңдаған есе, прослеживаться айқын заңдылық, описываемая өте қатал заңдарымен.

Басқа бір мысал. Айналасында әр ұшады молекулалары ауаның. Олардың кейбіреулері қасиетке ие, кейбір орта, ал кейбір – төмен жылдамдықпен. Мағынасы жоқ угадывать жылдамдығы жеке алынған молекулалардың; бірақ олардың жаппай есепке алу табады ең кеңінен қолдану теориялық және қолданбалы физикалық зерттеулер. Назар аударыңыз, бұл ұшақтар “біледі” ұша, газ және бу қазандары, әдетте, взрываются, шәйнектер кезінде кипении емес скачут, асүйде. Үшін көптеген және көптеген азайтылады, обыденными фактілермен және оқиғалармен кроются маңызды ақпаратты өлшеуіш статистикалық есептеулер.

Мысалы, оңайырақ. Егер сіз приобретете лотерея билеті, яғни екіталай нәрсе жеңеді және тіпті керемет, сорвете ірі куш. Бірақ ұйымдастырушы лотерея тіпті кездейсоқ тираждың ұтыс ойынына (үзінді нөмірленген шарлар және т. б. не егер қатысушылар өздері угадывают нөмірлер) кепілді және жоғары дәлдікпен біледі, қанша билет ұтады/мемлекетке стратегиялық одақтастар ауадай қажет, және, әрине, қалады пайда. Лотерея деп жиі атайды, алдау, алайда, парадокс мынада: бұл кепілдік қатаң негізделген теориясымен; дәл сол сияқты, сөз житейская “бәрібір ештеңе армандаймын”. Менің ойымша, енді түсінген дұрыс тәсілі заңнамада лотереялар =) Дегенмен, біз әлі ораламыз “құпияларға” ұтыс рулетка және әр түрлі түрлері.

Иә, айтпақшы ойланыңыз үстінен тағы бір маңызды міндеті: біздің көпшілігіміз үшін өмір тапсырады ондаған емтихан, және іс жүзінде әрқашан орын мынадай жағдай: мәселелер студент біледі (немесе заготовлены шпорлар), ал бір бөлігі – білмейді (не жүзіп барады да спорт шебері). Басталатын күні “X”: таң, дәліз 10-15 однокурсниками мен есігін үстелде жатыр толық жиынтығы билет. Қандай жағдайда western union жүйесі бойынша емтихан тапсыру – егер бару “алдыңғы қатарда”, “серединке” немесе егер кіру аудиторияға, соның ішінде соңғы? …Изучаем ықтималдықтар теориясын!

Алдымен төбелесіп жатқан негізгі терминдер, олар төменде мәтін бойынша боламын бөлуге қара әріптермен. Сіздің назарыңызды аударамын, бұл ТЕРМИНДЕР емес, “жай”деген сөздер”!
Оқиғалар. Оқиға түрлері
Бір базалық ұғымдарды тервера қазірдің өзінде жоғарыда айтылды – бұл оқиға. Оқиғалар кейде шынайы, невозможными және кездейсоқ.

Шынайы деп аталатын оқиға нәтижесінде сынау (белгілі бір іс-әрекеттерді жүзеге асыру, белгілі бір жағдайлар кешенін) міндетті түрде жүреді. Мысалы, жер тартылыс подброшенная монета міндетті түрде құлайды төмен.

Мүмкін емес оқиға деп атайды, ол жалған болмайды сынау нәтижесінде. Мысалы невозможного события: жер шары тартылыс подброшенная монета улетит жоғары.

Және, ақыр соңында, оқиға деп аталады кездейсоқ, егер сынау нәтижесінде мүмкін, болуы мүмкін емес орын алуы мүмкін, бұл ретте болуы тиіс орын қағидатты критерий кездейсоқтық: кездейсоқ оқиға – салдары кездейсоқ факторлардың әсер етуі, оның болжауға мүмкін емес немесе өте қиын. Мысалы: нәтижесінде лақтыру монеталар балансы “орел”. “Рассмотренном жағдайда кездейсоқ факторлар – бұл нысаны және жеке сипаттамалары монеталар, сила/бағыт лақтыру, ауаның кедергісі және т. б.

Асты сызылған критерийі кездейсоқтық өте маңызды – мысалы, карточкалық шулер мүмкін өте еппен имитировать кездейсоқтық және беруге жеңу құрбанына, бірақ бірде-қандай да бір кездейсоқ әсер ететін факторлар қорытынды нәтижесі, сөйлеу.

Кез келген сынақ нәтижесі деп аталады аяқталған, өзіндік және білдіреді пайда болуы белгілі бір оқиғалар. Атап айтқанда, кезінде подбрасывании монеталар мүмкін 2 нәтижесімен (кездейсоқ оқиғалар): өтуімен орел, балансы решка. Әрине, білдіреді, бұл сынау жүргізіледі, мұндай жағдайда, монета болмайды тұруға қабырға немесе, айталық, зависнуть да болмас.

Оқиғалар (кез келген) білдіреді үлкен латын әріптерімен не сол әріптерімен подстрочными индекстерімен, мысалы: . Жауап әрпі , ол резервтелген басқа да қажеттіліктерге жұмсалады.

Запишем келесі кездейсоқ оқиғалар:

– нәтижесінде лақтыру монеталар балансы “орел”;
– нәтижесінде лақтыру игральной сүйек (кубик) балансы бойынша 5 ұпай;
– науалар болады босатылып картасы трефовой түсін (әдепкі науа болып саналады толық).

Иә, оқиға тура солай жазады практикалық міндеттері, бұл ретте уместных жағдайларда қолдану ыңғайлы “сөйлейтін” подстрочные индекстері (бірақ қалай және оларсыз).

Бұл үшінші рет атап, бұл кездейсоқ оқиғалар міндетті түрде қанағаттандырады вышеприведенному өлшемі кездейсоқтық. Осы мағынада тағы да үлгі боларлық 3-ші мысал: егер жаңғырықтар бастапқыда жою, барлық карталар трефовой түсін, онда оқиға мүмкін болмай отыр. Керісінше, егер испытателю белгілі, мысалы, дама треф жатыр төменнен, онда ол тілек жасай алады оқиға шынайы =) осылайша, бұл мысалда болжанып отыр, бұл картаны жақсы перемешаны және олардың жейде неразличимы, т. е. науа болып табылады крапленой. Оның үстіне, мұнда “крапом” деп тіпті “шебер қолдар”, ликвидирующие кездейсоқтық сіздің ұтыс, ал көрінетін ақаулар карталар. Мысалы, жейде, сол ханымдар треф мүмкін лас, порванной, заклеенной скотчпен… блин, қандай да бір жәрдемақы үшін бастауыш чикатило болды =)

Сөйтіп, ұтыс ойынында маңызды жеребе әрқашан мәні бар невзначай көруге емес, бірдей ме қырлары монеталар 😉

Басқа да маңызды оқиғалардың сипаттамасы – бұл олардың равновозможность. Екі немесе одан да көп оқиғалардың саны деп атайды равновозможными, егер де олардың бірі емес болып табылады мүмкін қарағанда басқа. Мысалы:

жоғалту қыран немесе решки кезінде жүгірісте монеталар;
жоғалту 1, 2, 3, 4, 5 немесе 6 ұпай жинады, жүгірісте игрального кубик;
алу картасы трефовой, шыңдық, еңбекке баулу немесе червовой түсін келген жаңғырықтар.

Оқиғалар несовместны (өйткені пайда болуы қандай да бір қырларын жоққа бір мезгілде пайда болуы басқа) құрайды және толық тобын (сынау нәтижесінде міндетті түрде пайда болады бірі осы алты оқиғалар).

Тағы бір маңызды түсінік, ол бізге жақын уақытта қажет – бұл элементарность нәтижесіне (оқиғалар). Егер өте қарапайым болса, онда қарапайым оқиға “болмайды таратуға арналған басқа да оқиғалар”. Мысалы, оқиғалар қарапайым, бірақ оқиға болып табылады және осындай, өйткені білдіреді жоғалту 1, 2, 3, 4 немесе 6 ұпай (қамтиды 5 қарапайым нәтижелерінің).

Мысалда карталарымен оқиғалар (үзінді трефы, пики, червы сыбызғы немесе тиісінше) несовместны құрайды және толық тобын, бірақ олар неэлементарны. Егер деп санауға колоде 36 карталар болса, онда әрбір аталған оқиғаларды қамтиды 9 қарапайым нәтижелерінің. Ұқсас – оқиғалар (үзінді алтылық, жетілік, …, король, туза) несовместны құрайды толық тобын және неэлементарны (әрбір қамтиды 4 нәтижесімен).

Осылайша, қарапайым исходом осында болып саналады, тек үзінді қандай да бір нақты карталар, және, әрине, 36 несовместных қарапайым нәтижелерінің да құрайды толық топты оқиғаларды.

Бірлескен оқиғалар кем емес маңызды тұрғысынан практикалық міндеттерді шешу, бірақ оларды айналып өтуге тарап тұр. Оқиғалар деп аталады бірлескен, егер жеке алған сынау пайда болуы және олардың бірінің жоққа шығармайды пайда болуы басқа. Мысалы:

– қарт колодасын болады босатылып, трефа;
– қарт колодасын болады босатылып, жетілік.

Егер мүлдем лаконичным, бір жоққа шығармайды басқа.

Түсінігі совместности қамтиды және көп оқиғалар:

– ертең сағат 12.00-де, жаңбыр жауады;
– ертең сағат 12.00-де болады, күн күркірейді;
– ертең сағат 12.00-де күн сөнбесін.

Жағдай, әрине, өте сирек, бірақ бірлескен пайда болуы барлық үш оқиғалардың қағидатына емес, алынып тасталды. Айта кету керек, аталған оқиғалар совместны және жұп, т. е. болуы мүмкін, тек нөсер, найзағай ойнайды немесе mushroom жаңбыр немесе погромыхает маңында фонында анық аспан.

Оқиғалар алгебрасы
Мужайтесь болады және матан =)

Өтінеміз, есіңізде МАҢЫЗДЫ ЕРЕЖЕ, онсыз меңгеру тервер жай ғана мүмкін емес:

Операция қосу оқиғаларды білдіреді логикалық связку НЕМЕСЕ,
ал операция көбейту оқиғалардың логикалық связку. И.

1) Сомамен екі оқиғалар мен оқиға деп аталады ол тұрады деп басталатын немесе оқиға немесе оқиға немесе екеуі де оқиғалар бір мезгілде. Егер оқиғалар несовместны, соңғы нұсқа болмай қалған, яғни туындауы мүмкін немесе оқиға немесе оқиға .

Ереже қолданылады көп бөлігін, мысалы, оқиға мынада жүреді біреуі оқиға , ал егер оқиғалар несовместны – бір және тек бір оқиға осы соманың немесе оқиға немесе оқиға немесе оқиға немесе оқиға немесе оқиға .

Мұндай мысалдар:

Оқиғалар (жүгірісте игральной сүйегінің өтуімен 5 ұпай) тұрады бұл балансы немесе 1 немесе 2 немесе 3 немесе 4 немесе 6 ұпай.

Оқиға (нормасынан артық емес, екі ұпай) мынада пайда болады 1 немесе 2 ұпай.

Оқиға (четное число ұпай) тұрады бұл балансы немесе 2 немесе 4 немесе 6 ұпай.

Оқиға болып табылады ” деп жаңғырықтар болады босатылып, карта қызыл түсін (черва немесе бубна), ал оқиға – деп босатылып, “сурет” (валет немесе дама немесе король немесе тұз).

Сәл занятнее ісі бірлескен оқиғалармен:

Оқиға тұрады ” деп жаңғырықтар болады босатылып, трефа немесе жетілік немесе жетілік треф. Осы жоғарыда анықтау, ең болмағанда бір нәрсе немесе кез келген трефа немесе кез келген жетілік немесе олардың қиылысуы” – семерка треф. Оңай есептеп, осы оқиғаға сәйкес келеді 12 қарапайым нәтижелерінің (9 трефовых карт + 3 қалған жетілік).

Оқиға мынада: ертең сағат 12.00-де басталатын ең БОЛМАҒАНДА БІРЕУІ суммируемых бірлескен оқиғалар, атап айтқанда:

– немесе тек жаңбыр / найзағай / күн;
– немесе орнайды тек қандай да бір жұп оқиғалардың (жаңбыр + гроза / жауын – + күн / күн күркірейді + күн);
– немесе барлық үш оқиғалар бір мезгілде пайда болады.

Яғни, оқиға қамтиды 7 ықтимал нәтижелерінің.

Екінші тірегі алгебра оқиғалар:

2) Туындысы екі оқиғалар деп атайды оқиғаны тұрады бірлескен пайда болған осы оқиғалар, басқаша айтқанда, көбейту білдіреді, ол кейбір жағдайлар орнайды мен оқиға , оқиға . Осындай әділ және одан көп оқиғалардың санын, мысалы, шығарма дегеніміз белгілі жағдайда мәдениеттер мен оқиға , оқиға және оқиға , …, және оқиға .

Қарастырайық сынау, подбрасываются екі монеталар және мынадай оқиғалар:

– 1-ші монета өтуімен орел;
– 1-ші монета өтуімен решка;
– 2-ші монета өтуімен орел;
– 2-ші монета өтуімен решка.

Сонда:
– оқиға мынада: екі монеталарда (1-ші және 2-ші) өтуімен орел;
– оқиға мынада: екі монеталарда (1-ші және 2-ші) өтуімен решка;
– оқиға мынада: 1-ші монета өтуімен орел және 2-ші монета решка;
– оқиға мынада: 1-ші монета өтуімен решка және 2-ші монета қыраны.

Қиын емес екендігін атап өту оқиғалар несовместны (және т. б. мүмкін, мысалы, ештеңе түсіп кетуі 2 қыран және сол уақытта 2 решки) құрайды және толық тобын (өйткені ескерілді барлық ықтимал нәтижелері лақтыру екі монеталарды). Ендеше үлкен стратегиялық мәліметтер оқиғалар: . Қалай түсіндіруге бұл жазба? Өте қарапайым – көбейту білдіреді логикалық связку Және, қосу – НЕМЕСЕ. Осылайша, сомасы оңай оқи түсінікті адами тілде: “выпадут екі бүркіттің немесе екі решки немесе 1-ші монета өтуімен орел және 2-ші решка немесе 1-ші монета өтуімен решка және 2-ші монета қыраны ”

Бұл мысал, бір сынау жұмыстарына, егер екі монеталар. Тағы бір кең таралған практикалық міндеттері схемасы – бұл қайта сынау, қашан, мысалы, бір және сол балаларға арналған кубик бросается 3 рет қатарынан. Ретінде көрсету қарастырайық келесі оқиғалар:

– 1-м жүгірісте нормасынан 4 ұпай;
– 2-м жүгірісте өтуімен 5 ұпай;
– 3 м жүгірісте балансы бойынша 6 ұпай.

Сол кезде оқиға мынада: 1-м жүгірісте нормасынан 4 ұпай жинап, 2-м жүгірісте өтуімен 5 ұпай 3-м жүгірісте балансы бойынша 6 ұпай. Әлбетте, бұл жағдайда, кубиком болады әлдеқайда көп жиынтығын (нәтижелерін) қарағанда, егер біз подбрасывали монетасын.

…Түсінемін, бұл, бәлкім, бөлшектеледі өте қызықты мысалдар, бірақ бұл жиі кездесетін міндеттер заттар және олардан ешқайда деться. Басқа монетки, кубик және қарт колодасын сіз поджидают урналар түрлі-түсті шарлармен, бірнеше жадыра, стреляющих бойынша нысана, және қажырлы жұмыс, ол үнемі вытачивает қандай да бір бөлшектер =)
Оқиғаның ықтималдығы
Оқиғаның ықтималдығы – бұл орталық ұғымы ықтималдықтар теориясы. …Убийственно қисынды нәрсе, бірақ бір нәрсе керек еді бастауға =) бірнеше тәсілдерді анықтау:

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы;
Геометриялық ықтималдығын айқындау;
Статистикалық анықтау ықтималдығы.

Бұл мақалада мен остановлюсь классикалық анықтау ықтималдық, ол табады неғұрлым кеңінен қолдану оқу тапсырмалары.

Белгілер. Ықтималдығы біраз оқиғалар белгіленеді үлкен латын әрпімен , ал өзі оқиға алынады жақшаға сөйлеген сөзінде рөлін өзіндік сапасын қайта қарастыруды сұрайды. Мысалы:

– ықтималдығы, бұл нәтижесінде лақтыру монеталар балансы “орел”;
– ықтималдығы, бұл нәтижесінде лақтыру игральной сүйек балансы 5 ұпай;
– ықтималдығы, бұл жаңғырықтар болады босатылып картасы трефовой түсін.

Сондай-ақ, белгілеу үшін ықтималдық кеңінен қолданылады кішкентай әріп . Атап айтқанда, болады, үлкен белгілердің оқиғалар және олардың ықтималдықтар пайдасына мынадай стилистика::

– ықтималдығы, бұл нәтижесінде лақтыру монеталар балансы “орел”;
– ықтималдығы, бұл нәтижесінде лақтыру игральной сүйек балансы 5 ұпай;
– ықтималдығы, бұл жаңғырықтар болады босатылып картасы трефовой түсін.

Бұл нұсқа танымал практикалық міндеттерді шешу, өйткені, айтарлықтай қысқартуға жазу. Ретінде бірінші жағдайда, мұнда ыңғайлы “сөйлейтін” подстрочные/надстрочные индекстері.

Барлық бұрыннан бірліктің, ырыс туралы күндерінде, мен ғана жазып алған жоғары, және қазір біз білеміз, олар болды:

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы:
Ықтималдықпен оқиғаның кейбір сынау деп атайды қатынасы , мұндағы:

жалпы саны барлық равновозможных, қарапайым нәтижелерінің осы сынау құрайтын толық топты оқиғаларды;

– саны қарапайым нәтижелерінің қолайлы оқиғаға .

Кезінде жүгірісте монеталар мүмкін ештеңе түсіп кетуі не орел немесе решка – аталған оқиғалар құрайды толық тобын, осылайша, жалпы саны нәтижелерінің ; бұл ретте, олардың әрқайсысы элементарен және равновозможен. Оқиғаға қолайлы нәтижесі (айналуы қыран). Классикалық анықтау ықтималдықтар: .

Ұқсас – нәтижесінде лақтыру кубик пайда болуы мүмкін қарапайым равновозможных нәтижелерінің құрайтын толық тобын, ал оқиғаға қолайлы жалғыз нәтиже (жоғалту бестік). Сондықтан: .

Ерекше назар аударамын үшінші мысал. Мұнда некорректным “деп айтуға бір рет колоде 4 түсін, онда ықтималдығы табу трефы “. Анықтау туралы сөз болып отыр қарапайым исходах, сондықтан дұрыс тәртібі ойлау мынадай: барлығы колоде 36 карталар (несовместные қарапайым нәтижелері құрайтын толық тобын), оның ішінде 9 карт трефовой түсін (саны қарапайым нәтижелерінің қолайлы оқиғаға ); классикалық анықтау ықтималдығы: . Дәл осылай!

Ықтималдық білдіруге болады және пайызбен, мысалы: ықтималдық жоғалту қыран тең түсуіне , бестік алу трефы , бірақ ықтималдықтар теориясы ОЛ ҚАБЫЛДАНҒАН ЖОҚ (бірақ шек қойылмайды прикидывать пайыздар ойда).

Пайдалану қабылданған үлесін бірлік, және, әлбетте, бұл ықтималдығы өзгеруі мүмкін . Бұл ретте, егер , онда оқиға мүмкін емес, егер – шынайы, ал егер болса , кездейсоқ оқиға.

! Егер шешу барысында кез келген міндеттерді сіздердің қолдарыңыздан келді қандай да бір басқа мәні ықтималдық – қатені өзіңізден іздеңіз!

Кезінде классикалық көзқарас анықтау ықтималдығын шеткі мәндері (ноль және бірлік) өнімділігі арқылы дәл осындай ойлау. Берсін некой қоқыс жәшіктері орналасқан 10 қызыл шар, кездейсоқ алынады 1 шар. Қарастырайық келесі оқиғалар:

– қоқыс салатын жәшіктер болады шығарылды қызыл шар;
– қоқыс салатын жәшіктер болады шығарылды жасыл шар.

Жалпы саны нәтижелерінің: . Оқиғаға тартуға қолайлы барлық мүмкін болатын нәтижелері , демек, , яғни бұл оқиға анық. Үшін 2-ші-сол оқиғалар благоприятствующие нәтижелері жоқ , сондықтан , яғни оқиға мүмкін емес.

Ерекше қызығушылық тудырады оқиғаның болу ықтималдығы оларда өте аз. Болсын мұндай оқиғалар болып табылады және кездейсоқ, сондықтан келесі жорамал:

жеке сынау маловозможное оқиға болмайды.

Сондықтан Сіз сорвете лотереяға Джек-пот, егер ықтималдығы осы оқиғалар, айталық, тең 0,00000001. Иә-иә, дәл Сіз – жалғыз билетпен қандай да бір нақты тираже. Дегенмен, көп билеттер саны және үлкен саны ұтыс Сізге ерекше көмектеседі. …Менің айтуымның бұл туралы қоршаған ортаға, онда әрдайым дерлік жауап естимін: “бірақ біреу ұтады”. Жақсы, сонда кел өткіземіз келесі эксперимент: қандай, бүгін немесе ертең билет сатып алыңыз да, кез келген лотерея (“кейінге” қалдырмаңыз!). Егер жеңеді… ал, бірақ 10 килорублей, міндетті түрде отпишитесь – түсіндірейін бұл. Үшін пайызы, әрине =) =)

Бірақ грустить қажет емес, өйткені, бар қарама-қарсы принципі: егер ықтималдығы біраз оқиғалар өте жақын бірлікте болса, бөлек алынған сынау ол іс жүзінде сенімді түрде жүреді. Сондықтан секірер алдында парашютпен жоқ қорқу керек, керісінше, улыбайтесь! Өйткені тиіс қалыптасуы мүлдем немыслимые және фантастикалық мән-жайлар үшін отказали екі парашюттің.

Дегенмен, барлық бұл-лирика, өйткені мазмұнына байланысты оқиғалар бірінші принципі болуы мүмкін көңілді, ал екіншісі – грустным; немесе мүлдем екі параллель.

Сірә, әзірше жеткілікті, сабақта Тапсырмаларды ықтималдықтың классикалық анықтамасы, біз выжмем максимум бірі формулалар . Қорытынды бөлігінде осы баптың қарастырайық бір маңызды теорему:

Сомасы ықтималдық оқиғалар құрайтын толық тобын, бірге тең. Өрескел айтқанда, егер оқиғалар құрайды толық тобын құраса, 100%-дық ықтималды болса, оның ішінде жүреді. Ең қарапайым жағдайда толық тобын құрайды қарама-қарсы оқиғалар, мысалы:

– нәтижесінде лақтыру монеталар өтуімен орел;
– нәтижесінде лақтыру монеталар өтуімен решка.

Теоремасы бойынша:

Мүлдем бұл оқиғалар равновозможны және олардың ықтималдығы бірдей .

Себебі теңдік ықтималдылық равновозможные оқиғалар жиі аталады равновероятными. Ал скороговорка арналған дәрежесін анықтау, мас шығатындай =)

Мысал кубиком: оқиғалар противоположны, сондықтан .

Қарастырылып отырған теорема ыңғайлы, өйткені жылдам табу ықтималдығы, қарама-қарсы оқиғалар. Мысалы, егер белгілі болу ықтималдығы өтуімен бестігі, оңай есептеу ықтималдығы, ол балансы:

Бұл әлдеқайда оңай қарағанда жинақтай ықтималдығын бес қарапайым нәтижелерінің. Үшін қарапайым нәтижелерінің, айта кетерлігі, бұл теорема да әділетті:
Оқиғалар , жоғарыда айтылғандай, равновозможны – енді біз айта аламыз равновероятны. Ықтималдығы түсуіне кез келген кубик қырлары тең :
Ал закуску науа: өйткені бізге белгілі болу ықтималдығы болады босатылып, трефа, онда табу оңай болу ықтималдығы болады босатылып, карта басқа түсін:
Назар аударыңыз, – деп қаралған жұптың оқиғалар мен емес равновероятны, өйткені ол жиі және кейде.

Оңайлатылған нұсқасы жазу шешімдер ықтималдығы қарама-қарсы оқиғалар стандартты түрде белгіленеді строчной әрпі . Мысалы, егер – ықтималдығы, бұл мерген түседі мақсаты болса – ықтималдығы, ол промахнется.

! “Ықтималдықтар теориясы әріптер және орынсыз пайдалануға және қандай да бір басқа мақсаттарда.

Білім Күніне арналған менің сұрақ қою үй тапсырмасы =), бірақ өте маңызды болып табылады, сіз келесі сұрақтарға жауап беру:

– Қандай оқиға түрлері бар?
– Бұл кездейсоқтық және равновозможность оқиғалар?
– Сіз қалай түсінесіз терминдер совместность/несовместность оқиғаларды?
– Не толық тобы оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар?
– Не қосу және көбейту оқиғаларды?
– В чем суть классикалық ықтималдығын анықтау керек.
– Пайдалы ықтималдықтарды көбейту және қосу теоремалары оқиғалар құрайтын толық тобын?

Жоқ, зубрить ештеңе керек емес, тек аздан ықтималдықтар теориясы – өзіндік әліппе, ол өте тез уложится басымда. Мен үшін бұл мүмкіндігінше тезірек танысуды ұсынамын сабақтар бойынша Тапсырмалар комбинаторике мен Міндеттері ықтималдықтың классикалық анықтамасы.Бұл бөлімде сіз онлайн учебник ықтималдықтар теориясы бойынша, негізгі формулалар келтірілген және теориялық мәліметтер, сондай-ақ көптеген шешімін тапқан мысалдар ықтималдықтар теориясы бойынша әрбір тарауы. Кітабында разобрана бірінші басшысы туралы кездейсоқ оқиғалар, есептеу ықтималдық оқиғаларға тікелей және арнайы жағдайларда (Бернулли формуласы, Байеса, Лаплас, Пуассон, көбейту ықтималдылық және т. б.). Бұл бөлім кіреді барлық курстары ықтималдықтар теориясы ретінде еңбек негіздері-бұл пән, сондықтан деп санауға болады сіз танысасыз ба теориясымен ықтималдығын шайнектің үшін. Сәттілік!