Алдымен табамыз облысы айқындау функциялары. Өйткені бөлгіш бөлшек емес зейнетақы нөл қандай мәндерінде x, функциясы анықталған барлық сандық түзу – x қабылдауы мүмкін кез келген маңызы бар. Ескереміз, бұл функция f(x) жұп, өйткені f(-x)=1/((-x)2+1)=1/(x2+1)=f(x). Өйткені функциясы жұп болса, онда жеткілікті, оны зерттеу және салу эских графика тек оң х, содан кейін қандай эскиз ордината осіне қатысты. Енді қиылысу нүктесін табамыз графика функцияларды координатными осьтері. С осі ордината кестесі қиылысады нүктесінде (0; f(0)). Біздің функциялары бұл нүкте (0;1) f(0)=1. Табу үшін қиылысу нүктесін с абсцисс осі керек теңдеуді шешу f(x)=0. Теңдеу 1/(x2+1)=0 жоқ жарамды түбір, демек кестесі f(x) қиып өтеді абсцисс осі. Бұл қорытынды жасауға болады, бұл функциясының графигі не бүкіл үстінде орналасады абсцисс осі (функция барлық жерде оң), не барлық, оның астында (функция барлық жерде теріс). Әлбетте, бұл бөлшек 1/(x2+1) кез келген х оң мәндер қабылдайды, бұл қабылдау функцияларын бүкіл үстінде орналасады абсцисс осі.

Құру кезінде графика функциялары өте пайдалы болуы туралы ақпаратты аралықтарда өсу және кему функциялары. Пайдалана отырып, анықтау өсіп келе жатқан және кететін функцияларын анықтауға болады, f(x) өседі аралықта (-; 0] убывает арналған аралықта [0; ). Осылайша, нүктесінде x=0 өсуі функциялары жұмыстан кетсе-ға кемуі. f(0)=1.

Сонымен қатар ескереміз, бұл шексіз ұлғайту және сапасын қайта қарастыруды сұрайды бөлгіш f(x) шексіз өсуде, демек мәні функциялары басылып келеді нөлге дейін (шектелмеген жақындап нөлге тең). Негізге ала отырып, четности функциясы бұл функция өзін дәл осылай және шектелмеген азайту сапасын қайта қарастыруды сұрайды.

Негізге алынған ақпаратты біз эскиз салу графика функциялары, ол суретте көрсетілген төмен.
Толық функцияларды зерттеу жүргізіледі төмендегі жоспар бойынша.

1) Найти область определения функции .

2) болуын Тексеру зерттелетін функциялар қосымша қасиеттері (жұптық, нечетность, кезеңділігі). Жағдайда, мысалы, функциясы болып табылады тақ (жұп), жеткілікті зерттеу жүргізуге және эскиз салу кезінде жұмыс кестесінен кейіннен симметриялы оның бейнеленуін (салыстырмалы координаталар басынан үшін тақ функцияларды немесе осіне қатысты үшін жұп).

3) Анықтау нүкте координаттары қиылысу кестесін функцияларды координаттар осьтерінің (қиылысу нүктесін табу үшін кестені осі шешеміз теңдеуі ; қиылысу нүктесін табу үшін кестені осі подставляем аналитикалық өрнек функциясының мәні ).

4) Табу және оның көмегімен анықтау аралықтары монотонности функциялары, нүкте экстремума және экстремалды маңызы бар функциялар.

5) Табу , оның көмегімен бағыттарын айқындау выпуклости графика функциясын табу оқиғалар алгебрасы кестесінің функциялары.

6) Найти асимптоты графика.

7) Пайдалана отырып, алынған барлық нәтижелері, графигін салу функциялары.Бойда бөлшек функция, алымында және бөлімінде болып тұр квадраттық функциялар.

Құру әдістемесі нобайы мынадай:

1. Мәндері аралықтар знакопостоянства анықтаймыз және әрбір белгісі функциясы (1-сурет)

Біз егжей-тегжейлі қарастырдық анықтадық, бұл функция үздіксіз ” ОДЗ мүмкін ауыстыру белгісі ғана ауысқан кезде сапасын қайта қарастыруды сұрайды арқылы тамырлары және үзіліс нүктелері ОДЗ.

Берілген функция у непрерывна өз ОДЗ, кетуіме ОДЗ:

Табамыз тамыры:

Мәндері аралықтар знакопостоянства. Таптық тамыры функциялары және үзіліс нүктелері анықтау – тамыры бөлгіш. Айта кету керек, ішіндегі әрбір интервал функциясы сақтайды белгісі.

Сур. 1. Арақашықтық знакопостоянства функциялары

Анықтау үшін белгісі функциясы әрбір аралықта болады кез келген нүктесіне тиесілі аралыққа подставить оның функциясын анықтау және оның белгісі. Мысалы:

Арналған аралықтағы функция бар белгісі плюс

Арналған аралықтағы функция бар белгі минус болады.

Бұл артықшылық әдісін интервалдар: біз анықтаймыз белгісі жалғыз сынамалы нүктесінде және жалғастыру бұл функция болады осындай белгісі-барлық таңдалған тізбек.

Алайда шығаруға болады белгілері автоматты түрде емес, высчитывая мәндердің функциялары, бұл үшін анықтау белгісі қиыр аралығында, ал бұдан әрі кезектесуі белгілері.

1. Сөздің кестесі маңында әр тамыры. Естеріңізге сала кетейік, тамыры осы функцияларды :

Сур. 2. Кестесі төңірегіндегі тамыры

Өйткені нүктесінде белгісі функциялары өзгереді плюса минус, онда қисық алдымен үстінде осі, содан кейін арқылы өтеді нөл және бұдан әрі астында орналасқан осі х нүктесінде керісінше.

2. Сөздің кестесі маңында әр алшақтықты ОДЗ. Естеріңізге сала кетейік, тамыры бөлгіш осы функцияларды :

Сур. 3. Кестесі функциясы маңайында нүктелерін алшақтықты ОДЗ

Кезде немесе бөлгіш бөлшектің іс жүзінде нөлге тең, демек, қашан мәні сапасын қайта қарастыруды сұрайды ұмтылады осы күндері, мәні бөлшек ұмтылады шексіздік. Бұл жағдайда, дәлел өңірлерінің бірінші үштігіне сол жақта функциясы позитивті болып табылады және ұмтылады плюс шексіздік, оң функциясы теріс және шығып минус шексіздік. Шамамен төрттік керісінше, сол жағында функция ұмтылады минус шексіздік, ал оң жағында шығады плюс шексіздік.

Сәйкес построенному эскиз біз кейбір аралықтарда тап, мінез-құлық функциялары.

Сур. 4. Эскиз графика функциялары

Қарастырайық келесі маңызды міндет – эскиз салу графика функциялары төңірегінде шексіз алыстағы нүкте, яғни аргумент ұмтылады плюс немесе минус шексіздік. Тұрақты слагаемыми жағдайда елемеуге болады. Иеміз:

Кейде кездестіруге болады мұндай жазба осы факті:

Сур. 5. Эскиз графика функциялары төңірегінде шексіз алыстағы нүктелері

Біз тағайындаған мінез-құлық функциялары барлық, оның анықталу облысы, бұдан әрі қажет нақтылауға құру қолдана отырып, графигін салу.

2. Шешім мысал №1
Мысал 1 – эскиз салу графика функциялары:

Құрудамыз эскиз графика функциясын пайдаланбай, графигін салу.

Алдымен зерттеп берілген функцияны:

ОДЗ:

Тамыры:

Иеміз үш нүктеге ауысқанда сапасын қайта қарастыруды сұрайды олар арқылы функция өзгерте алады белгісі.

Айта кетейік, берілген функция тақ.

Анықтаймыз белгілері функциялары әрбір аралықта. Иеміз плюс қиыр құқығымен аралығында, бұдан әрі таңбалары кезектесіп орналасқан, өйткені барлық тамыры бар бірінші дәрежесі.

Құрудамыз эскиз графигін төңірегіндегі түбір нүктелерін алшақтықты ОДЗ. Иеміз: өйткені нүктесінде белгісі функциялары өзгереді плюса минус, онда қисық алдымен үстінде осі, содан кейін арқылы өтеді нөл және бұдан әрі астында орналасқан осі х. Кезде немесе бөлгіш бөлшектің іс жүзінде нөлге тең, демек, қашан мәні сапасын қайта қарастыруды сұрайды ұмтылады осы күндері, мәні бөлшек ұмтылады шексіздік. Бұл жағдайда, дәлел жақындап минус екі солдан функциясы теріс ұмтылады минус шексіздік, оң функциясы оң және шығады плюс шексіздік. Шамамен екілік ұқсас.

Енді құрамыз эскиз графика функциялары төңірегінде шексіз алыстағы нүкте, яғни аргумент ұмтылады плюс немесе минус шексіздік. Тұрақты слагаемыми жағдайда елемеуге болады. Иеміз:

Орындағаннан кейін, жоғарыда көрсетілген іс-қимылдардың біз представляем себе функциясының графигі, бірақ қажет, оның көмегімен графигін салу.

Табамыз производную функции:

Әлбетте, бұл туынды әрқашан нөлден аз, демек, функциясы убывает барлық учаскелерінде. Мәселен, учаскеде минус шексіздікке дейін минус екі функция убывает нөлден минус шексіздік; учаскесінде минус екі нөлге дейін функциясы убывает плюс шексіздікке дейін нөлден; учаскесінде нөлден екі функция убывает нөлден минус шексіздік; учаскеде екі-ден плюс шексіздікке функциясы убывает плюс шексіздікке дейін нөлден.