Энергияның сақталу заңы — іргелі табиғат заңы, белгіленген эмпирикалық салдарлар және ол үшін оқшауланған физикалық жүйе енгізілуі мүмкін скалярная физикалық шама болып табылатын функциясы параметрлерінің жүйесі деп аталады энергиясымен, сақталады ұзақ уақыт бойы. Өйткені энергияның сақталу заңы жатады, нақты шамаға мен құбылыстарға, көрсетеді жалпы, применимую барлық жерде және әрқашан, заңдылық, оны атау заңмен емес, ал энергияның сақталу қағидаты.

Іргелі тұрғысынан сәйкес Нетер теоремасы, энергияның сақталу заңы салдары болып табылады біртектілігі уақыт, яғни тәуелсіздік заңдар физика сәттен бастап уақыт, ол жүйесі қарастырылады. Бұл тұрғыда энергияның сақталу заңы болып табылады әмбебап, яғни тән жүйелерге ең әр түрлі физикалық табиғат. Бұл ретте, орындауға, бұл заңның сақталуын әрбір нақты алынған жүйесіне негізделеді бағынышты жүйенің өзінің ерекше заңдар динамикасын, жалпы айтқанда, различающимся үшін түрлі жүйелер.

Әр түрлі бөлімдерінде физика, тарихи себептерге байланысты энергияның сақталу заңы формулировался қарамастан, осыған байланысты енгізілген болатын, әр түрлі энергия түрлері. Мүмкін ауысуы энергияның бір түрден екінші түрге, бірақ толық энергия жүйесінің сомасына тең жекелеген түрлерін энергия сақталады. Алайда, шарттылық бөлу энергиясын әр түрлі түрлері, мұндай бөлу әрқашан мүмкін әрине.

Әрбір түрі үшін энергияның сақталу заңы болуы мүмкін өз нысаннан өзгешеленетін әмбебап, тұжырымы. Мысалы, классикалық механика болды тұжырымдауға механикалық энергияның сақталу заңы, термодинамика — термодинамиканың бірінші бастамасы, ал электродинамике — теорема пойнтинг векторы.

Отырып, математикалық тұрғысынан, энергияның сақталу заңы барабар бекіту жүйесі дифференциалдық теңдеулер сипаттайтын динамикасын, осы дене тәрбиесі жүйесін, ие бірінші интегралом қозғалысына байланысты симметричностью теңдеулер қатысты ығысуы.Іргелі мәні заңының
Симметрия физика
Түрлендіру Тиісті
инвариантность Тиісті
заң
сақтау
↕ Трансляциялау уақыттың Біртектілігі
уақыт …энергиясы
⊠ C, P, CP және T-симметрия Изотропность
уақыт …четности
↔ Трансляциялау кеңістіктің Біртектілігі
кеңістік импульс …
↺ Айналу кеңістік Изотропность
кеңістік сәттен …
импульс
⇆ Тобы Лоренца (бусты) Салыстырмалылығы
Лоренц-ковариантность …қозғалыс
орталық масса
~ Калибровочное қайта Калибрлеу инвариантность …заряд
Іргелі мәні энергияның сақталу заңын ашып көрсетіледі теоремой Нетер. Осы теоремасы, әрбір сақталу заңы бір мәнді сәйкес келетін сол немесе өзге симметрия теңдеулер сипаттайтын физикалық жүйесі. Атап айтқанда, энергияның сақталу заңы барабар уақыт біртектілігі, яғни тәуелсіздік барлық заңдарға, сипаттайтын жүйе сәттен бастап уақыт, ол жүйесі қарастырылады.

Қорытынды бұл бекіту жүргізілуі мүмкін, мысалы, негізінде лагранжева болатын[1][2]. Егер уақыт однородно, онда функция Лагранж сипаттайтын жүйесіне байланысты емес анық, сондықтан толық оның туындысы уақыты бойынша түрлері бар:

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}.} {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}.}
Мұнда {\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}, L(q_{i},{\dot q}_{i}) — Лагранж функциясы, {\displaystyle q_{i},{\dot {q}}_{i},{\ddot {q}}_{i}} q_{i},{\dot q}_{i},{\ddot q}_{i} — жалпылама координаттары және олардың бірінші және екінші туындылары уақыт бойынша тиісінше. Пайдаланып уравнениями Лагранж, заменим туындылары {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}} {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}} көрінісін {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} {\frac {{\rm {d}}}{{{\rm {d}}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}:

{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}=\sum _{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right).} {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}=\sum _{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right).}
Перепишем соңғы өрнек түрінде

{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L\right)=0.} {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L\right)=0.}
Сомасы тұрған жақшаның ішінде, анықтау бойынша деп аталады энергиясымен жүйесін және күшіне тең нөлге толық туындыны одан уақыт бойынша ол интегралом қозғалысы (яғни, сақталады).

Жеке нысандарын энергияның сақталу заңын
Классикалық механика
Файл:Алтын ереже механика.webm
Бейнесабағы: алтын ереже механика
Тұжырымдамасы
Ньютон механикасындағы тұжырымдалған жеке жағдайы энергияның сақталу заңын — механикалық энергияның сақталу Заңы, звучащий төмендегідей[3]

Толық механикалық энергия тұйық жүйесін тел араларында жұмыс істейді, тек консервативті күштер, тұрақты болып қалады.

Басқаша айтқанда, болмаған жағдайда диссипативті күштер (мысалы, үйкеліс күштері) механикалық энергия емес, ештеңе болуы мүмкін емес жоғалып жоқ.

Мысалдар
Классикалық үлгісі әділдік, бұл бекіту болып табылады серіппелі немесе математикалық маятниктер с пренебрежимо шағын затуханием. Егер серіппелі маятниктің процесінде тербеліс потенциалдық энергия майысқан серіппе (максимум бар ерекше ережелері жүкті) ауысады кинетикалық энергиясын жүктің (достигающую максимум кезінде жүкпен өту ережелері тепе-теңдік) және кері[4]. Егер математикалық маятниктің[5] ұқсас өзін потенциалдық энергия жүктің ауырлық күшінің өрісі.

Шығару теңдеулер Ньютонның
Механикалық энергияның сақталу заңы шығарылды мүмкін екінші Ньютон заңы[6], егер консервативтік жүйесі барлық әсер ететін күштер дене, потенциальны және, демек, түрінде ұсынылуы мүмкін

{\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),} {\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),}
онда {\displaystyle U\left({\vec {r}}\right)} U\left({\vec r}\right) — потенциалдық энергия материалдық нүктеге ( {\displaystyle {\vec {r}}} {\vec {r}} — радиус-вектор нүктесі кеңістік). Бұл жағдайда, Ньютонның екінші заңы үшін бір бөлшектер бар түрі

{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} ‘t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),} {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d}’ t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),}
онда {\displaystyle m}, m — бөлшектің массасы, {\displaystyle {\vec {v}}} {\vec {v}} — вектор, оның жылдамдығы. Скалярно домножив екі бөлігі де осы теңдеулер жылдамдығы бөлшектер және назарға ала отырып,, {\displaystyle {\vec {v}}=\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} ‘t} {\vec v}={\mathrm d}{\vec r}/{\mathrm d}’ t, алуға болады

{\displaystyle m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} ‘t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d}’ t}}.} {\displaystyle m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} ‘t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d}’ t}}.}
Арқылы қарапайым операциялар бұл өрнек мүмкін келтірілген келесі түрі

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} ‘ t}}\left[{\frac {mv^{2}}{2}}+U({\vec {r}})\right]=0.} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} ‘ t}}\left[{\frac {mv^{2}}{2}}+U({\vec {r}})\right]=0.}
Осыдан тікелей бұл өрнек, тұрған белгісі астында дифференциалдау уақыт бойынша сақталады. Бұл өрнек деп аталады және механикалық энергиясымен материалдық нүктелері. Бірінші мүшесі сомасында жауап беруші кинетикалық энергиясы, екінші — әлеуетті.

Бұл тұжырым болуы мүмкін оңай қорытылды жүйесіне материалдық нүкте[3].

Жалпылама энергия интегралы
Лагранж теңдеулері голономной механикалық жүйе-ға тәуелді емес уақыт функциясы Лагранж және әлеуетті күштерімен

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0} {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{{m}}}}=0
бар жалпылама энергия интегралы[2]:

{\displaystyle h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L.} {\displaystyle h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L.}
Термодинамика
Толық мақаласы: термодинамиканың Бірінші бастамасы
“Термодинамика тарихи сақталу заңы тұжырымдалған түрінде бірінші принципі термодинамиканың:

Ішкі энергиясының өзгеруі термодинамической көшу кезінде жүйенің оның бір күйден сомасына тең жұмыс сыртқы күштердің үстінен жүйесімен санын жылу берілген жүйесі мен әдісіне байланысты жүзеге асырылатын бұл көшу

немесе балама ретінде[7]:

Жылу саны, алынған жүйесімен, сөз өзгерту үшін, оның ішкі энергиясын жұмыс жасауға қарсы сыртқы күштердің

Математикалық тұжырымдалуы бұл білдірілуі мүмкін төмендегідей:

{\displaystyle Q=\Delta U+A,} {\displaystyle Q=\Delta U+A,}
онда енгізілген белгілер {\displaystyle Q} Q — жылу саны, алынған жүйесімен, {\displaystyle \Delta U} \Delta (U — ішкі энергиясының өзгеруі жүйенің {\displaystyle A}, A — жұмыс, жетілген жүйесі.

Гидродинамика
Толық мақаласы: Бернулли Заңы
“Гидродинамике идеалды сұйықтықтың сақталу заңы, энергияның дәстүрлі түрде тұжырымдалған түріндегі теңдеу Бернулли: желілерінің бойымен ток тұрақты сомасы[8]

{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+gz={\rm {const}}.} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+gz={\rm {const}}.}
Мұнда енгізілген, мынадай белгілер: {\displaystyle \ v} \ v — ағынның жылдамдығы сұйықтық, {\displaystyle \ w} \ w — жылу функциясы сұйықтық, {\displaystyle \ g} \ g — еркін түсу үдеуі, {\displaystyle \ z} \ z — координатасы нүктеге бағытына қарай ауырлық күш. Егер сұйықтық ішкі энергиясы өзгермейді (жоқ сұйықтық қызады және салқындатылады), онда Бернулли теңдеуі мүмкін қайта тіркелуі түрінде[9]

{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int {\frac {{\rm {d}}p}{\rho (p)}}+gz={\rm {const}},} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int {\frac {{\rm {d}}p}{\rho (p)}}+gz={\rm {const}},}
онда {\displaystyle \ p} \ p — сұйықтық қысымы, {\displaystyle \ \rho (p)} \ \rho (p) — сұйықтың тығыздығы. Үшін сығылмайтын сұйықтықтың тығыздығы болып табылады тұрақты шама, сондықтан соңғы теңдеулер орындалуы мүмкін интегралдау[9]:

{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz={\rm {const}}.} {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz={\rm {const}}.}
Электродинамика
Толық мақаласы: Теорема пойнтинг векторы
“Электродинамике энергияның сақталу заңы тарихи тұжырымдалған түрінде теоремалары пойнтинг векторы[10][11](кейде, сондай-ақ, деп аталатын теоремой Умов—пойнтинг векторы[12]), байланыстыратын ағынының тығыздығы электромагниттік энергияның тығыздығы электромагниттік энергия тығыздығы джоулевых шығындарды. Сөздік нысанда теоремасы болуы мүмкін былайша тұжырымдалған:

Өзгерту электромагниттік энергия, жасалған мәмілелер неком көлемде, белгілі бір уақыт аралығы сияқты ағын электромагниттік энергия арқылы беті, ограничивающую осы көлемі, саны және жылу энергиясын, бөлініп осы мөлшерде алынған қайтымды белгісі.

Математикалық бұл түрінде көрінеді (осы жерде және төменде-бөлімде пайдаланылған гауссова бірлік жүйесі)

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w_{em}dV=-\oint \limits _{\partial V}{\vec {S}}d{\vec {\sigma }}-\int \limits _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}dV,} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w_{em}dV=-\oint \limits _{\partial V}{\vec {S}}d{\vec {\sigma }}-\int \limits _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}dV,}
онда {\displaystyle V} V — әлдебір көлемі, {\displaystyle \partial V} \partial V — беті мерзімде бұл көлемі,

{\displaystyle w_{em}={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)} w_{{em}}={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec E}\cdot {\vec D}+{\vec B}\cdot {\vec H}\right) — тығыздығы электромагниттік энергия
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\vec {E}}\times {\vec {H}}\right]} {\vec S}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\vec E}\times {\vec H}\right] — векторы пойнтинг векторы,
{\displaystyle {\vec {j}}} \vec j — ток тығыздығы, {\displaystyle {\vec {E}}} \vec E — электр өрісінің кернеулігі, {\displaystyle {\vec {D}}} {\vec D} — индукция электр өрісінің {\displaystyle {\vec {H}}} {\vec {H}} — магнит өрісінің кернеуі, {\displaystyle {\vec {B}}} {\vec {B}} — индукция магнит өрісі.

Осы заң математикалық жазылуы мүмкін дифференциалдық нысаны:

{\displaystyle {\frac {\partial w_{em}}{\partial t}}=-\mathrm {div} {\vec {S}}-{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}.} {\displaystyle {\frac {\partial w_{em}}{\partial t}}=-\mathrm {div} {\vec {S}}-{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}.}
Сызықты емес оптика
Толық мақаласы: Ара Manly — Роу
“Бейсызық оптика қаралады тарату оптикалық (және тіпті электромагниттік) сәулелену ортаға ескере отырып, многоквантового өзара іс-қимыл осы сәулелену затпен орта. Атап айтқанда, кең ауқымды зерттеулер міндеттерге арналған деп аталатын үш және четырехволнового өзара, олардың өзара әрекеттесуі өтеді, тиісінше, үш немесе төрт квант сәуле шығару. Өйткені әрбір жеке актісі, мұндай өзара іс-қимыл заңдарға бағынады энергияның сақталу және импульстің мүмкіндігі бар тұжырымдауға жеткілікті жалпы арасындағы арақатынас макроскопическими параметрлерімен өзара іс-қимыл жасайтын толқындар. Бұл ара ол атауы арақатынасын Manly — Рсқ.

Мысал ретінде қарастырайық құбылыс қосу жиіліктер жарық: генерациясын ” бейсызық ортада сәулелену жиілігі {\displaystyle \omega _{3}} \omega _{3}, тең сомасына жиілік және екі басқа да толқындар {\displaystyle \omega _{1}} \omega _{1} {\displaystyle \omega _{2}} \omega _{2}. Бұл процесс болып табылады жеке жағдайы трехволновых процестер: өзара іс-қимыл кезінде екі кванттардың бастапқы толқындардың затпен олар сіңіп кетеді бастап испусканием үшінші кванта. Заңға сәйкес энергия сақтау, сомасы энергия екі бастапқы кванттардың тең болуы тиіс энергия жаңа кванта:

{\displaystyle \hbar \omega _{1}+\hbar \omega _{2}=\hbar \omega _{3}.} {\displaystyle \hbar \omega _{1}+\hbar \omega _{2}=\hbar \omega _{3}.}
Бұл теңдік, тікелей керек бірі арақатынасын Manly — Рсқ:

{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{3},} {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{3},}
ол, тегінде, және білдіреді фактісі жиілігі астасатын сәулелену тең сомасына жиілік және екі бастапқы толқын.

Релятивтік механика
“Релятивистік механика ұғымы енгізіледі 4-вектордың энергия-импульс немесе, жай ғана четырехимпульса)[13]. Оның кіріспе жазуға мүмкіндік береді сақталу заңдары канондық импульстің және энергияның бірыңғай нысан, ол сол болып табылады лоренц-ковариантной, яғни өзгермейді при переходе из одной инерциялық санақ жүйесіне ауыстыру. Мысалы, қозғалыс кезінде зарядталған материалдық нүктенің өрістегі ковариантная нысаны сақталу заңының түрі бар

{\displaystyle {\frac {dP_{\mu }}{d\tau }} в=0} {\displaystyle {\frac {dP_{\mu }}{d\tau }} в=0}
онда {\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+{\frac {q}{c}}A_{\mu }} P_{\mu }=p_{\mu }+{\frac {q}{c}}A_{\mu } — джентльменнің канондық четырехимпульс бөлшектер, {\displaystyle p_{\mu }=\left(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}\right)} p_{\mu }=\left(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}\right) — четырехимпульс бөлшектер, {\displaystyle E=mc^{2}{\sqrt {1+p^{2}/m^{2}c^{2}}}} E=mc^{2}{\sqrt {1+p^{2}/m^{2}c^{2}}} — энергия бөлшектер, {\displaystyle A_{\mu }=\left(\varphi ,-A_{x},-A_{y},-A_{z}\right)} A_{\mu }=\left(\varphi ,-A_{x},-A_{y},-A_{z}\right) — четырехвектор әлеуетін электромагниттік өріс {\displaystyle q} q, {\displaystyle m} m — электр заряды және массасы бөлшектер, {\displaystyle \tau } \tau — өз уақытында бөлшектер.

Сондай-ақ, маңызды болып табылады фактісі, тіпті орындамаған жағдайда энергияның сақталу заңын-импульс (мысалы, ашық жүйеде) сақталады модуль осы 4-вектордың дейінгі дәлдікпен размерного множителя бар мағынасы тыныштық энергиясы бөлшектер[13]:

{\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }=m^{2}c^{2}.} {\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }=m^{2}c^{2}.}
Кванттық механика
Кванттық механика, сондай-ақ мүмкін энергияның сақталу заңын тұжырымдау үшін оқшауланған жүйесі. Мәселен, шредингеровском ұсыну болмаған кезде сыртқы айнымалы өрістердің гамильтониан жүйесі керек көрсетуге болады[14], толқындық функция, жауап беретін Шредингер теңдеуінің шешімі болуы мүмкін түрінде ұсынылған:

{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}\psi _{n}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{n} ‘ t}{\hbar }}\right),} {\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}\psi _{n}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{n} ‘ t}{\hbar }}\right),}
Мұнда {\displaystyle \ \psi (x,t)} \ \psi (x,t) — толқындық функция жүйесінің {\displaystyle \ x}\, x жиынтығы айнымалы, тәуелді жүйесінің жай-күйі осы ұсыныста, {\displaystyle \ \psi _{n}(x,t),E_{n}} \ \psi _{n}(x,t),E_{n} — меншікті функциялары мен меншікті мәндері операторы Гамильтон, {\displaystyle \hbar } \hbar — тұрақты Планк, {\displaystyle \ c_{n}} \ c_{n} — кейбір тұрақты кешенді сипаттайтын коэффициенттер жүйесінің жағдайы. Анықтау бойынша, орта энергиясын кванттық жүйелер, сипатталған толқындық функция, интеграл деп аталады

{\displaystyle E=\int \psi ^{*}(x,t){\hat {H}}(x)\psi (x,t)dx,} {\displaystyle E=\int \psi ^{*}(x,t){\hat {H}}(x)\psi (x,t)dx,}
онда {\displaystyle {\hat {H}}} \hat H — гамильтониан. Қиын емес көруге, бұл интеграл керек:

{\displaystyle E=\int \sum _{n}c_{n}^{*}\psi _{n}(x)^{*}\exp \left(i{\frac {E_{n} ‘ t}{\hbar }}\right){\hat {H}}(x)\sum _{m}c_{m}\psi _{m}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{m} ‘ t}{\hbar }}\right)dx=\sum _{n}\int c_{n}^{*}\psi _{n}^{*}(x){\hat {H}}(x)c_{n}\psi _{n}(x)dx=\sum _{n}\left|c_{n}\right|^{2}E_{n},} {\displaystyle E=\int \sum _{n}c_{n}^{*}\psi _{n}(x)^{*}\exp \left(i{\frac {E_{n} ‘ t}{\hbar }}\right){\hat {H}}(x)\sum _{m}c_{m}\psi _{m}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{m} ‘ t}{\hbar }}\right)dx=\sum _{n}\int c_{n}^{*}\psi _{n}^{*}(x){\hat {H}}(x)c_{n}\psi _{n}(x)dx=\sum _{n}\left|c_{n}\right|^{2}E_{n},}
онда сондай-ақ, пайдаланылған қасиеті ортонормированности өз функцияларын гамильтониана[15]. Осылайша, энергия тұйық жүйесі сақталады.

Алайда, бұл салыстырғанда классикалық механикой у кванттық энергияның сақталу заңын бір маңызды айырмашылығы. Бұл үшін эксперименттік тексеру заңының орындалу қажет өлшеу білдіретін өзара іс-зерттелетін жүйенің неким аспаппен. Өлшеу процесінде жүйе, жалпы айтқанда, артық емес болып табылады оқшауланған және оның энергия мүмкін емес сақталуы (жүреді алмасу энергиясымен аспабымен). Шеңберінде классикалық физика, алайда, бұл әсер аспаптың әрқашан жасалуы мүмкін неше угодно шағын болса, кванттық механикадағы бар іргелі шектеулер болса, қаншалықты шағын болуы мүмкін реніш жүйесін өлшеу процесінде. Бұл әкеледі сонымен қатар называемому принципі белгісіздік алгоритмдерді конструкциялауда дағдының артуына әкеледі, ол математикалық тұжырымдалуы білдірілуі мүмкін мынадай:

{\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}},} {\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}},}