Физика болады жинау ғана векторлары бар бірдей зерделегенде. Біз мұ-
жем жинау жылдамдығы жылдамдықпен, күшіне күш, бірақ емес опц-вектор сқо
рости с векторы күштер.
Векторларды қосу ережесі түсіндіруге болады екі тән мысалдар: доғару
орын ауыстыру және қосу күштері.
2.1 Ереже үшбұрыш
Біріншіден, орын ауыстыру. Өткізілуіне деп аталады векторы байланыстыратын бастапқы және түпкі
дене қалпын.
Егер, мысалы, денесі болған нүктесінде A және содан кейін анықталғандай нүктесінде B болса, онда переме-
щением дене болады векторы ~, s =
−→AB. Ауыстыру дененің нысанына байланысты болмайтын траекториясын; ол
ғана анықталады бастапқы және соңғы нүктелері. – Сур. 4 бейнеленген перемеще-
тік дененің ~s және салыстыру үшін пунктиром көрсетілген дененің траекториясы.
~s
A
B
Сур. 4. Орын ауыстыру векторы
Болжаймыз, не денесі суреттерді ауыстыру ~s1 нүктесінен A нүктесіне B, содан соң қайта
басшыларының ~s2 нүктесінен B нүкте C (сур. 5). Қорытынды ауыстыру бар вектор ~s байланыстыратын
бастапқы нүктесі A, түпкі нүктесі C.
~s1 ~s2
~s = ~s1 + ~s2 A
B
C
Сур. 5. Өтулерді қосу
Ауыстыру ~s бар нәтижесі екі дәйекті түрде жасалған ығысу ~s1 жəне ~s2,
сондықтан, әрине, деп санауға, ол болып табылады олардың сомасы: ~s = ~s1 + ~s2. Бұл әкеп соғады.
ереже үшбұрыш үшін қосу произвольных векторлар (сур. 6).
~a ~b
~a +~b
Сур. 6. Ереже үшбұрыш
Ереже үшбұрыш. Оларды сізге кез келген вектор начало ~b соңына векторының ~a. Сонда векторы ~a +~b
біріктіреді басы векторының ~a векторының соңымен ~b.
Төрт
2.2 Ереже параллелограмма
Бірнеше басқаша жағдай туындайды қосу кезінде күштер. Мысалы, нүктесінде O орналасқан
аздап денесін және оған қоса берілген екі күш: F~
1 F~
2.
F~
Бір
F~
2 F~= F~
1 + F~
Екі
O
Сур. 7. Қосу күштері
Тәжірибе көрсетіп отырғандай, бірлескен әрекет, осы күштердің равноценно-ші іс-қимыл-бір күш F~,
ол қызмет етеді, параллелограмма диагоналі салынған динамикалық векторлары F~
1 F~
2 (сур. 7).
Басқаша айтқанда, қозғалыс біздің денеге өтеді емес, ешқандай өзгерістер, егер тастауға күш
F~
1 F~
2 ауыстырылсын оларды күшпен F~. Бұл күш F~деп аталады равнодействующей (немесе результи-
рующей) екі күштер F~
1 F~
2; ол нәтижесі болып табылады олардың бірлесіп қолдану, және, өйткені
әрине, деп санауға болады, олардың сомасы: F~= F~
1 + F~
2.
Осы дайын жетелейді ережесіне параллелограмма үшін қосу екі өнді-
вольных векторлар (сур. 8).
~a
~b ~a +~b
Сур. 8. Ереже параллелограмма
Ереже параллелограмма. Оларды сізге кез келген басталғанға векторлардың ~a және ~b бір нүкте. Сонда векторы
~a +~b, тұра начало сол нүктесінде, болып табылады параллелограмма диагоналі салынған
динамикалық векторлары ~a және ~b.
Сонымен, екі табиғи тәсілін жинақтау векторлары: ереже үшбұрыш және пра-
вило параллелограмма. Егер бұл ережелер келтірді түрлі нәтижелері, еді
скверно. Бірақ, бақытымызға орай, нәтижесі сонда-да бір және сол!
~a
~b
~
~a +
b
~b
Сур. 9. Ереже үшбұрыш = Ереже параллелограмма
Қараңызшы сур. 9. Алдымен біз сложили векторлары ~a және ~b-ереже бойынша параллелограмма.
Содан кейін ауыстырылды вектор ~b параллель өзіне-өзі, сондықтан оның басындағы соңымен тұспа-тұс келді
Бес
векторының ~a (ауыстырылған вектор ~b-суретте бейнеленген пунктиром). Осылайша туындады
мүмкіндігі бүктеп біздің векторлары бойынша ереже үшбұрыш, және нәтижесінде біз сол
сол жиынтық векторы ~a +~b, және бірінші жағдайда — атап айтқанда, параллелограмма диагональ.
Осылайша, ереже үшбұрыш және параллелограмма оңай жинақталады, бір-біріне және
олардың арасында ешқандай айырмашылық жоқ. Физика біз жиі пайдаланамыз ережесіне параллелограмма
(ала қалыптасқан күш, жылдамдық, жеделдету, өрісінің кернеулік және т. б.), өйткені складываемые
векторлары әдетте қоса берілген нүктеде.
Жалғыз қиындық біздің ережесіне мынада қосу кезінде коллинеарных
векторлардың жоқ бірде-үшбұрыш, бірде параллелограмма. Бірақ ереже бойынша, үшбұрыш —
оның түрінде, ол тұжырымдалған — жұмыс істейді (сур. 10).
~a ~b
~a +~b
Сур. 10. Қосу коллинеарных векторлар
Атап айтқанда, біз помещаем басы векторының ~b соңына векторының ~a және соединяем басы векторының ~a
соңымен векторының ~b. Қолыңыздан вектор ~a +~b, суретте төмен орналасқан.
2.3 Қасиеттері, векторларды қосу
Операция қосу векторларының ие барлық жақсы алгебраическими қасиеттері бар, олар
тән сложению сандарды және привычны.
1. От перестановки қосылғыштардың қосындысы өзгермейді (математика деп атайды коммутатив-
жауапкершілігі қосу):
~a +~b = ~b + ~a. (1)
Бұл оңай жөн ережесі параллелограмма (сур. 8). Шын мәнінде, қандай айырмашылық,
қандай тәртіппен жинақтау векторлары ~a және ~b болса, параллелограмма диагональ бәрібір
бір?
2. Туындайды қызықты сұрақ: қалай бүктеп үш вектордың? Қандай сомасын анықтау
~a +~b +~c ? Жасайық бұл екі тәсілмен табамыз векторлары (~a +~b) +~c ~a + (~b +~c),
содан кейін салыстыруға болады нәтижелері.
~a
~b
~a +
~c
~b
(~a +~b) + ~c
~a
~b
~c
b
~
+ ~c
~a + (~b + ~c)
Сур. 11. (~a +~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
Біз көріп отырғандай, күріш. 11, нәтижелері сәйкес келеді! Иеміз келесі заң (математика
деп атайды, оның ассоциативностью):
(~a +~b) + ~c = ~a + (~b + ~c). (2)
Алты
Бірге коммутативностью (1) бұл сомасы ~a +~b + ~c дұрыс анықталған:
біз жинау деректер векторлар, өлтіретін, оларды қалай және нәтижесі әрқашан
алып отыратын болады бір және сол. Мысалы, табуға болады, біздің сомасы да (сур. 12):
~a
~b
~c
~a +~b + ~c
Сур. 12. Сомасы үш векторлар
Жалпы, көрсетуге болады, бұл сома кез келген соңғы санының векторлар болады
қандай тәртіппен біз складываем векторлары. Мысалы, табу үшін жиынтық векторының
пайдалануға болады ережесіне көпбұрыш (сур. 13; мысал үшін бес векторлар):жеке міндеттер кейде маңызды углядеть қандай түрде жақсы просумми-
ровать векторлары. Міне стандартты жағдай. Болсын ұзындық векторлар ~a және ~c тең 1, ұзындығы
векторының ~b тең 2; арасындағы бұрыш ~a және ~b-ге тең 60◦
, арасындағы бұрыш ~b ~c да тең 60◦
(сур. 14).
Талап етіледі табу векторының ұзындығын ~a +~b + ~c.
~a
~c
~60 b

60◦
Сур. 14. Векторының ұзындығын табу ~a +~b + ~c
Искать алдымен сомасын ~a+~b және әлі дайындалу сосын оған ~c — болады, бірақ бұл ең үздік
идеясы. Бастайық, бұл сложим ~a және ~c ! Доведите өздері соңына дейін бұл шешім,
аз уақыт қалды. Жауабы: 3.
3. Прибавление к вектору нөлдік вектордың ештеңе өзгертпейді:
~a +~0 = ~a. (3)
Бұл анық, егер елестету мұндай қосу тұрғысынан ережесі
үшбұрыштың.
Жеті
4. Әрбір вектордың ~a бар қарама-қарсы вектор, обозначаемый −~a; сомасы
векторының және оның қарама-қарсы нөлге тең:
~a + (−~a) = ~0. (4)
Қарама-қарсы вектор −~a тең ұзындығы бойынша вектору ~a және противоположен оған жібе-
басқару (сур. 15).
~a −~a
Сур. 15. Қарама-қарсы вектор
Түсінігі қарама-қарсы вектордың жақын бізге әкеледі операциялар шегеру векто-
ор. Бұл операция өте маңызды физика, біз талқылаймыз, оның бөлек.
2.4 векторларды Азайту
Азайту вектор — бұл прибавление қарама-қарсы вектор. Басқаша айтқанда, разностью
векторлардың ~a және ~b деп аталады сомасы ~a + (−~b).
Мұндай формалды анықтау емес, тым нашар. Біз подойдем – вычитанию
векторлардың бірнеше өзге де тараптар.
Қарастырайық үш вектордың ~a,
~b ~c осындай, ~b + ~c = ~a (сур. 16).
~a
~b ~c
Сур. 16. Анықтау векторлардың айырмасы
Жақсы болар ауыстыру векторы ~b оңға минус белгісімен жазып, ~c = ~a~b және айту
бұл вектор ~c бар айырмасы векторлардың ~a және ~b. Сондай-ақ жасайды! 17-сурет қайталайды
сур. 16 — тек үздік орнына, ~c тұр ~a~b.
~a
~b ~a −~b
Сур. 17. Векторлардың айырмасы
Болайық деп санауға сур. 17 ұйғарымымен әртүрлілігіне векторлар. Сонымен, табу үшін вектор-
дық айырмасы ~a −~b, біз дәйекті түрде келесі қадамдарды жасаймыз.
1. Егер векторлардың басталған ~a және ~b орналасқан түрлі нүктелерінде, онда келтіреміз бұл векторлар бір
басында, қатар ауыстыра бірі векторлар.
Сегіз
2. Соединяем ұштары және векторларының “укалываем” сол вектор, жүргізілетін вычи-
тание2
. Бұл жағдайда стрелка жіберіледі вектору ~a.
Әрине, көрнекі анықтау көмегімен сурет. 17 беріп, нәтижесінде сол
вектор деп айтылған, жоғары формалды анықтау әртүрлілігіне ~a −~b сома ретінде ~a + (−~b).
Оны өзіңіз көріңіз неге сонда!
Векторлардың айырмасы физика кездеседі жиі, әсіресе механика. Мысалы, жеделдету
былайша айқындалады:
~a =
~v − ~v0
t
.
Мұнда ~v0 — бастапқы жылдамдық, дене, ~, v соңғы жылдамдық, t — уақыт жылдамдығы
өзгерді от ~v0 дейін ~v. Айырмасы ∆~v = ~v − ~v0 деп аталады өзгеруіне скорости3
.
Осылайша, жеделдету бар жылдамдығының өзгеруі, деленное уақытта, ол үшін бұл-
менение болды. Туралы умножении (және, осылайша, бөлу туралы) векторының арналған скаляр әңгімелесетін боламыз
сәл төмен, ал, сындыру көрейік несложную міндет.
Міндет. Дене қозғалады айналдыра жылдамдығы v. Табу модулі дененің жылдамдығын өзгерту
ширек кезең.
A
B
~v1
~v2
~v1
~v2
∆~v
∆~v = ~v2 − ~v1
Сур. 18. – Міндетте про жылдамдығының өзгеруі
Шешімі. Болсын кейбір нүктесінде A шеңбердің жылдамдығы дененің тең ~v1. Ширек кезең
денесі өтеді шеңбердің төрттен және жатса нүктесінде B; болсын дененің жылдамдығы осы нүктеде
тең ~v2 (сур. 18).
Әрине, |~v1| = |~v2| = v, бірақ ~v1 және ~v2 — түрлі векторлар (олардың бағыттары әр түрлі болып табылады, және бұл
жылдамдығын өзгерту емес, нөлге тең. Қараймыз тең бұрышты тік бұрышты үшбұрыш,
бейнеленген-сур. 18. оң және теоремасы бойынша Пифагора жасаймыз, |∆~v| = v

2.
2Можно есте сақтау бұл әдетте ОБ — “Шаншу Уменьшаемое”.
3Вообще, өзгерту қандай физикалық шама — бұл әрқашан айырмасы оның соңғы және бастапқы
мәндері.
Тоғыз
3 Көбейту скаляра арналған вектор
Векторлар болады ғана емес, жинау, бір-бірімен, бірақ көбейтіп арналған скаляры. Арасында сіз-
ражениями “көбейту скаляра “вектор” және “көбейту векторының арналған скаляр” ешқандай са-
ципиальной айырмашылық жоқ.
При умножении скаляра ” вектор сонда векторы. Өлшемі векторының шығармалары
тең шығармасы өлшемдерді скаляра және бастапқы вектор.
Перемножение скаляра және векторының кездеседі физика барлық жерде, онда фигурируют өздері векто-