5-тарауда басталған нақты сандардың қасиеттерін зерттеуді жалғастырамыз. Онда біз нақты сандармен әр түрлі арифметикалық операциялар жасалатынын атап өттік, бұл ретте мұндай операциялардың қасиеттері қолданылады. Бұл қасиеттерді білу бізге алгебралық өрнектердің өзгеруін орындауға, теңдеулерді шешуге көмектесті.

Онда 5-тарауда біз сандық теңсіздіктің ұғымын енгіздік: а> b – бұл а — b-оң сан; а < b – бұл а — b-теріс сан.

Сандық теңсіздіктер бірнеше қасиеттерге ие, оларды білу бізге одан әрі теңсіздіктермен жұмыс істеуге көмектеседі.
Теңдеулерді не үшін шеше білу керек, сіз білесіз: біз қарастырып отырған кез келген нақты жағдайдағы математикалық модель не теңдеу немесе теңдеу жүйесі болып табылады. Шын мәнінде, басқа да математикалық модельдер — теңсіздіктер кездеседі, біз әлі де мұндай жағдайлардан аулақ болдық.
Сандық теңсіздіктің қасиеттерін білу функцияларды зерттеу үшін де пайдалы болады. Мысалы, теңсіздіктермен сізге белгілі функциялардың кейбір аралықтағы ең үлкен және ең кіші мәндері, төменгі немесе жоғарғы функцияның шектеулілігі сияқты қасиеттері байланысты. Теңсіздіктермен келесі параграфтардың бірінде сөз болатын функцияның өсу немесе кему қасиеті байланысты. Сондықтан сандық теңсіздіктің қасиеттерін білмей, бізге өтірік болмайды. Иә, сіз және өзіңіз теңсіздіктермен жұмыс істеу қажеттігіне көз жеткізе аласыз.
Осылайша, § 27-да біз сан теңсіздігінің қасиеттеріне нақты сүйенетін (интуитивті болса да) ілімнің саны үшін бағалауларды қолдандық. Біз 28 және 30 теңсіздік белгілерін (және қасиеттері) белсенді пайдаландық.
Сандық теңсіздіктің қасиеттерін зерттеумен біз осы параграфта айналысамыз.
1 қасиеті. Егер а>B және b> с болса, онда а> с.
Дәлелдеме. Шарт бойынша, а > b, яғни а-b-оң Сан. B > с сияқты, b – с — оң сан деп қорытынды жасаймыз.
А-b және b-с оң сандарын қосып, оң Сан аламыз. Бізде (а – b) + (b – с) – а – с.демек, а – с — оң сан, яғни А > с, бұл дәлелдеуді талап етті.
1 қасиетін нақты сандар жиынының геометриялық моделін, яғни сандық түзуді пайдалана отырып негіздеуге болады. А> b теңсіздігі а сандық түзу нүктесінде B нүктесінен оңға қарай орналасқан, ал b > с теңсіздігі — B нүктесі с нүктесінен оңға қарай орналасқан дегенді білдіреді (сурет. 115). Бірақ сол кезде о нүктесі С түзу оң жақта орналасқан, яғни а> с.
Тапсырма
1 қасиеті әдетте өз транзитивтілігіңізді атайды (А тармағынан біз суретке жетеміз). B) тармағында аралық тоқтаумен транзит ретінде 115 пункт.
2 қасиеті. Егер а>b, онда а + с>Ь + с.
3 қасиеті. Егер а > B және m> О болса, онда > bm; Егер А>B және m < o болса, онда am < bm.

3 қасиетінің мағынасы мынада: егер теңсіздіктің екі бөлігін бірдей оң санға көбейту керек болса, онда теңсіздіктің белгісін сақтау керек;

егер теңсіздіктің екі бөлігі бірдей теріс санға көбейтілсе, онда теңсіздіктің белгісін өзгерту керек (< на >,> на< ).
Бұл теңсіздіктің екі бөлігін бірдей оң немесе теріс т санына бөлуге жатады, себебі m-ге бөлу әрқашан 14-06-196-ға көбейтумен ауыстыруға болады.jpg .
3 сипаттан, атап айтқанда, А > b на — 1 теңсіздігінің екі бөлігін көбейте отырып, а < — b аламыз. Бұл дегеніміз, егер теңсіздіктің екі бөлігіндегі белгілерді өзгертсе, онда теңсіздіктің белгісін да өзгерту қажет: Егер а>b, онда — а <—B.4 қасиеті. Егер а>B және c> d болса, онда а + с > b + d.

Дәлелдеме.
I әдіс. А > b және с > d шарты бойынша, демек, а-b және с-d оң сандар. Сонда олардың сомасы, яғни (А – b) + (с – d) — оң Сан. Өйткені (a-b) + (c-d) = (A + c)-(b + d), ал (а + с) – (b + d) — оң Сан. Сондықтан a + c>b + d.

II әдіс. Өйткені а > Ь, онда 2, а + с > b + с сипаттамасына сәйкес ұқсас, өйткені с > d, онда с + B > d + B.
Сонымен, а + с > b + с, b + с > b + d. Сонда, транзитивтілік қасиетіне байланысты А + с > b + d деп аламыз.

Ескерту 1. Біз сізге ұнаған немесе одан да түсінікті олардың біреуін таңдап алу үшін дәлелдемелердің екі жолын келтірдік.

Сонымен қатар, бір фактінің түрлі негіздемелерімен танысу пайдалы.

Дәлелдеме. А > b және с > 0 болғандықтан, ас > bc. Осыған ұқсас, өйткені с > d және B > o, онда cb > db. Сонымен, ас > bc, bc > bd. Сонда транзиттілік қасиетіне сәйкес, ас > bd деп аламыз.

Әдетте А > b, с > d (немесе А < с, с < d) түрінің теңсіздігі бірдей мағынадағы теңсіздік деп аталады, ал А > b және С < d теңсіздік қарама — қарсы мағынадағы теңсіздік деп аталады.

5 қасиеті бірдей мағынадағы теңсіздікті көбейту кезінде сол және оң бөліктері-оң сандар, сол мағынадағы теңсіздік пайда болады.

6 қасиеті. Егер а және b-теріс емес сандар және а > b болса, онда ап > Ьп, мұндағы n – кез келген табиғи Сан.

6 қасиетінің мағынасы мынада: егер теңсіздіктің екі бөлігі теріс емес болса, онда теңсіздіктің белгісін сақтай отырып, оларды бір табиғи дәрежеге қоюға болады.

6 қасиетіне қосымша. Егер N-тақ сан болса, онда А > b теңсіздігінен А және b әр сандары үшін ап > BN мәнінің теңсіздігі керек.

Сіз келтірілген дәлелдемелерде біз шын мәнінде екі идеяны қолданғанымызға назар аудардыңыз ба? Бірінші идея — теңсіздіктің сол және оң бөліктерінің айырмашылығын құру және қай санның алынатынын анықтау: оң немесе теріс. Екінші идея-жаңа сипатты дәлелдеу үшін белгілі қасиеттерді пайдалану. Мысалы, біз мұнда дәлелсіз әкелген жоғарыда аталған қасиеттердің бірін дәлелдеуге болады (жаттығу ретінде осы бос орынды толтыруға тырысуға кеңес береміз). Бірнеше мысалдарды қарастырайық.

1-мысал. А және b — оң сандар және А > B болсын. 4 қасиеті. Егер а>B және c> d болса, онда а + с > b + d.

Дәлелдеме.
I әдіс. А > b және с > d шарты бойынша, демек, а-b және с-d оң сандар. Сонда олардың сомасы, яғни (А – b) + (с – d) — оң Сан. Өйткені (a-b) + (c-d) = (A + c)-(b + d), ал (а + с) – (b + d) — оң Сан. Сондықтан a + c>b + d.

II әдіс. Өйткені а > Ь, онда 2, а + с > b + с сипаттамасына сәйкес ұқсас, өйткені с > d, онда с + B > d + B.
Сонымен, а + с > b + с, b + с > b + d. Сонда, транзитивтілік қасиетіне байланысты А + с > b + d деп аламыз.

Ескерту 1. Біз сізге ұнаған немесе одан да түсінікті олардың біреуін таңдап алу үшін дәлелдемелердің екі жолын келтірдік.

Сонымен қатар, бір фактінің түрлі негіздемелерімен танысу пайдалы.

Дәлелдеме. А > b және с > 0 болғандықтан, ас > bc. Осыған ұқсас, өйткені с > d және B > o, онда cb > db. Сонымен, ас > bc, bc > bd. Сонда транзиттілік қасиетіне сәйкес, ас > bd деп аламыз.

Әдетте А > b, с > d (немесе А < с, с < d) түрінің теңсіздігі бірдей мағынадағы теңсіздік деп аталады, ал А > b және С < d теңсіздік қарама — қарсы мағынадағы теңсіздік деп аталады.

5 қасиеті бірдей мағынадағы теңсіздікті көбейту кезінде сол және оң бөліктері-оң сандар, сол мағынадағы теңсіздік пайда болады.

6 қасиеті. Егер а және b-теріс емес сандар және а > b болса, онда ап > Ьп, мұндағы n – кез келген табиғи Сан.

6 қасиетінің мағынасы мынада: егер теңсіздіктің екі бөлігі теріс емес болса, онда теңсіздіктің белгісін сақтай отырып, оларды бір табиғи дәрежеге қоюға болады.

6 қасиетіне қосымша. Егер N-тақ сан болса, онда А > b теңсіздігінен А және b әр сандары үшін ап > BN мәнінің теңсіздігі керек.

Сіз келтірілген дәлелдемелерде біз шын мәнінде екі идеяны қолданғанымызға назар аудардыңыз ба? Бірінші идея — теңсіздіктің сол және оң бөліктерінің айырмашылығын құру және қай санның алынатынын анықтау: оң немесе теріс. Екінші идея-жаңа сипатты дәлелдеу үшін белгілі қасиеттерді пайдалану. Мысалы, біз мұнда дәлелсіз әкелген жоғарыда аталған қасиеттердің бірін дәлелдеуге болады (жаттығу ретінде осы бос орынды толтыруға тырысуға кеңес береміз).