Тригонометриялық функциялар — элементар функциялар, олар тарихи пайда қараған кезде тік бұрышты үшбұрыштар және выражали байланысты ұзындықтарын тараптардың осы үшбұрыштар өткір бұрыштары кезінде гипотенузе (немесе равнозначно, тәуелділік хорда және биіктік орталық бұрыштың (доғаның) айналымда). Бұл функцияларды тапты широчайшее қолдану түрлі салалардағы ғылым. Кейіннен анықтау тригонометриялық функцияларының аясы кеңейтілді, олардың дәлел енді мүмкін еркін вещественное немесе тіпті кешенді саны. Зерттейтін қасиеттері тригонометриялық функциялар деп аталады тригонометрией.

– Тригонометрическим функцияларына мыналар жатады:

тікелей тригонометриялық функциялары
синус ( {\displaystyle \sin x} \sin x)
косинус ( {\displaystyle \cos x} \cos x)
тригонометриялық функциялар туындылары
тангенс ( {\displaystyle \mathrm {tg} \,x} \mathrm{tg}\, x)
котангенс ( {\displaystyle \mathrm {ctg} \,x} \mathrm{ctg}\, x)
басқа тригонометриялық функциялар
секанс ( {\displaystyle \sec x} \sec x)
косеканс ( {\displaystyle \mathrm {cosec} \,x} \mathrm{cosec}\, x)
Ағылшын және американдық әдебиет тангенс, котангенс және косеканс белгіленеді {\displaystyle \tan x,\cot x,\csc x} \tan x, \cot x, \csc x. Екінші дүниежүзілік соғысқа дейін Германия мен Францияда бұл функцияларды обозначались және біз[1], бірақ содан кейін бұл елдер көшті, англо-американдық стандарты.

Сонымен осы алты, сондай-ақ бар кейбір сирек қолданылатын тригонометриялық функциялар (версинус және т. б.), сондай-ақ кері тригонометриялық функция (арксинус, арккосинус және т. б.), қаралатын жекелеген баптарында.

Синус және косинус заттық сапасын қайта қарастыруды сұрайды білдіреді кезеңдік, үздіксіз және шексіз дифференцируемые вещественнозначные функциялары. Қалған төрт функциясы заттық осі сондай-ақ, вещественнозначные, мерзімдік және шексіз дифференцируемые анықтау саласындағы, бірақ үздіксіз. Тангенс және секанс бар алшақтықты екінші текті нүктелерінде {\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}} \pm \pi n + \frac{\pi}{2}, ал котангенс және косеканс — нүктелерінде {\displaystyle \pm \pi n} \pm \pi n.
Графиктері, тригонометриялық функциялардың көрсетілді-сур. 1.Анықтау тәсілдері
Геометриялық анықтау

Сур. 2
Тригонометриялық функцияларды анықтау

Сур. 3
Сандық маңызы бар тригонометриялық функциялардың бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha ” тригонометрической шеңбердің радиусы-ке тең бірлікте
Әдетте тригонометриялық функциялар анықталады геометриялық[2]. Болсын бізге координаталардың декарттық жүйесі жазықтықтағы және салынған шеңбер радиусы {\displaystyle R}, R орталығымен басында координаттары {\displaystyle O} O. Кез келген бұрышы ретінде қарастыруға болады бұрылыс оң бағыттары абсцисс осіне дейін біраз сәуленің {\displaystyle OB} OB, бұл бұрылу бағыты сағат тіліне қарсы оң деп саналады, ал сағат тілімен — теріс. Абсциссу нүктелері {\displaystyle B} B белгілейміз {\displaystyle x_{B}} x_B, ординату белгілейміз {\displaystyle y_{B}} y_B (қараңыз 2-сурет).

Синусом деп аталады қатынасы {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.} \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
Косинусом деп аталады қатынасы {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.} \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
Тангенс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.} \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
Котангенс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.} \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
Секанс ретінде айқындалады {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.} \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
Косеканс ретінде айқындалады {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.} \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.
Айқын маңызы бар тригонометриялық функциялардың тәуелді емес шама радиусы шеңбер {\displaystyle R}, R күшіне қасиеттері ұқсас фигуралар. Жиі бұл радиусы тең деп қабылдайды шамасы бірлі-жарым кесу, онда синус тең жай ординате {\displaystyle y_{B}} y_B, ал косинус — абсциссе {\displaystyle x_{B}} x_B. 3-суретте көрсетілген шамаларын тригонометриялық функциялар үшін бірлік шеңбер.

Егер {\displaystyle \alpha } \alpha — вещественное саны болса, онда синусом {\displaystyle \alpha } \alpha математикалық талдау деп аталады синус бұрышын, радианная шара, оның тең {\displaystyle \alpha } \alpha ұқсас басқа тригонометриялық функциялар.

Анықтау тригонометриялық функциялар үшін өткір бұрыштар

Сур. 4
Тригонометриялық функцияның сүйір бұрышына
Мектеп геометрия курсында тригонометриялық функцияларды өткір бұрышының ретінде айқындалады тараптардың қарым-қатынастары тік бұрышты үшбұрыштың[3]. Болсын OAB — тікбұрышты үшбұрыш жіті бұрышы α. Сонда:

Синусом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} \frac{AB}{OB} (қатынасы противолежащего катета – гипотенузе).
Косинусом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {ШАҢЫРАҚ}{OB}}} \frac{ШАҢЫРАҚ}{OB} (қатынасы прилежащего катета – гипотенузе).
Тангенсом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {AB}{ШАҢЫРАҚ}}} \frac{AB}{ШАҢЫРАҚ} (қатынасы противолежащего катета – прилежащему).
Котангенсом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {ШАҢЫРАҚ}{AB}}} \frac{ШАҢЫРАҚ}{AB} (қатынасы прилежащего катета – противолежащему).
Секансом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {OB}{ШАҢЫРАҚ}}} \frac{OB}{ШАҢЫРАҚ} (қатынасы гипотенузы – прилежащему катету).
Косекансом бұрышының {\displaystyle \alpha } \alpha деп аталады қатынасы {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} \frac{OB}{AB} (қатынасы гипотенузы – противолежащему катету).
Президентіміз жүйесін координаттар басымен нүктесінде {\displaystyle O} O, бағыты абсцисс осі бойымен {\displaystyle ШАҢЫРАҚ} ШАҢЫРАҚ және қажет болған жағдайда өзгертіп бағдарлау (перевернув) үшбұрыш, сондықтан ол бірінші ширегінде координаттар жүйесін, және содан кейін, президентіміз шеңбер радиусы тең гипотенузе, бірден табамыз, бұл функцияларды анықтау әкеледі, сол нәтижеге, және алдыңғы.

Бұл анықтама бар біраз әдістемелік артықшылығы, өйткені талап етпейді түсінігін енгізу координаттар жүйесін, бірақ сондай-ақ, осындай ірі кемшілігі, бұл анықтау мүмкін емес тригонометриялық функциялар тіпті доғал бұрыштарды білу қажет шешу кезінде қарапайым міндеттерді орындау туралы тупоугольных треугольниках. (қараңыз: Теорема синустардың, Теорема косинусов).

Тригонометриялық функциялары мерзімді болып табылады функциялары кезеңдермен {\displaystyle 2\pi ~(360^{\circ })} 2 \pi ~ (360^\circ) синуса, косинуса, секанса және косеканса, {\displaystyle \pi ~(180^{\circ })} \pi~(180^\circ) тангенса және котангенса.
Тригонометриялық функцияның кез келген бұрышын жинақтауға болады тригонометрическим функцияларына өткір бұрышын пайдалана отырып, олардың кезеңділігі мен деп аталатын келтіру формулалары. Бұл, мысалы, орналасқан мәндерін тригонометриялық функциялардың кестелері бойынша, себебі кестелерде әдетте келтіріледі маңызы бар қала үшін ғана өткір бұрыштары.

Зерттеу функцияларды математикалық талдау
Анықтау тригонометриялық функцияларды дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің
Функцияларды косинус және синус анықтауға четное (косинус) және тақ (синус) шешім дифференциалдық теңдеулер

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}, R(\varphi )=-R(\varphi ),} \frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = – R(\varphi),
қосымша шарттар мен талаптар {\displaystyle R(0)=1} R(0)=1 үшін, косинуса және {\displaystyle R'(0)=1}, R'(0)=1 үшін синуса, яғни бір айнымалы функцияның екінші туынды олардың тең ең функциялары, жекелеген минус белгісімен:

{\displaystyle \ \left(\cos x\right)”=-\cos x,} \ \left(\cos x\right)” = – \cos x,
{\displaystyle \ \left(\sin x\right)”=-\sin x.} \ \left(\sin x\right)” = – \sin x.
Анықтау тригонометриялық функцияларды шешімдер функционалдық теңдеулер
Функцияларды косинус және синус анықтауға болады[4] ретінде шешу ( {\displaystyle f} f {\displaystyle g} g тиісінше) жүйесінің функционалдық теңдеулер:

Тригонометриялық функцияларды — математикалық функцияларды бұрышынан. Олар сөзсіз маңызды геометрияны оқу барысында, сондай-ақ зерттеу кезінде мерзімді процестер. Әдетте тригонометриялық функциялар ретінде анықтайды тараптардың қарым-қатынастары тік бұрышты үшбұрыштың немесе ұзындығының белгілі бір кесінділерінің ” бірлік шеңбер. Қазіргі заманғы анықтау білдіреді тригонометриялық функциялары арқылы сомасының қатарлар немесе кейбір дифференциалдық теңдеулер кеңейтуге мүмкіндік береді облысы айқындау осы функцияларды еркін заттай санының және тіпті комплекс сандар.

Қазіргі уақытта бөледі алты негізгі тригонометриялық функциялары, төменде көрсетілген бірге уравнениями, связывающими олардың бір-бірімен. Үшін соңғы төрт функцияларын, осы ара деп жиі атайды анықтамалары осы функцияларды, алайда анықтауға болады бұл функцияны геометриялық немесе ма басқаша. Сонымен бірге, басқа да функциялары сияқты versin және exsec, бірақ олар қазіргі уақытта сирек қолданылады (қараңыз Сирек қолданылатын тригонометриялық функциялар). С тригонометрическими функциялары тығыз байланысты кері атындағы функциялары (қараңыз. Кері тригонометриялық функциялар)Тригонометриялық функцияларды прямоугольном үшбұрыш Өңдеу
Анықтау үшін тригонометриялық функциялар болса, онда бұрышы α, алайық еркін тікбұрышты үшбұрыш бар бұрышы α. Тараптар осы үшбұрыштың біз атай:

Гипотенуза — тарап, противолежащая тікелей бұрышында, ең ұзын жағы үшбұрыш. Бұл жағдайда, тарап c.
Противолежащий катет — катет, лежащий қарама-қарсы бұрышының. Мысалы, катет a — противолежащий қатысты бұрышында A.
Жақын жатқан катет — катет, тарап болып табылатын бұрыш. Мысалы, катет b — жақын жатқан қатысты бұрышында A.
Біз болжауға, бұл үшбұрыш жатыр евклидовой жазықтықта, сондықтан оның бұрыштары тең болса, онда π. Бұл бұрыштары арасындағы катетами және гипотенузой жатыр арасында 0 және π2. Пайдалана отырып, келтіру формулалары немесе анықтау арқылы единичную шеңбер, кеңейтуге болады облысы айқындау тригонометриялық функциялардың көптеген заттай сандар.

Синус бұрышының қатынасы противолежащего катета – гипотенузе: sinα=ac. Бұл қатынасы тәуелді емес, таңдау үшбұрыштың ABC бар бұрышы α, өйткені мұндай үшбұрыштар ұқсас.

Косинус бұрышының қатынасы прилежащего катета – гипотенузе: cosα=bc. Өйткені sinβ=bc, синус бір өткір бұрышты үшбұрыш тең косинусу екінші, және керісінше.

Тангенс бұрышының қатынасы противолежащего катета – прилежащему: tgα=ab.

Котангенс бұрышына қатынасы прилежащего катета – противолежащему: ctgα=ba. Котангенс бір сүйір бұрышының ” прямоугольном үшбұрыш тең тангенсу екінші, және керісінше.

Секанс бұрышына қатынасы гипотенузы – прилежащему катету: secα=cb.

Косеканс бұрышының қатынасы гипотенузы – противолежащему катету: cosecα=ca.

Бірі ұйғарымдар тригонометриялық функциялардың керек:Анықтау тригонометриялық функциялар шеңбері арқылы Өңдеу
Берсін жазықтықта бойда тік бұрышты координаттар жүйесі басталуымен нүктесінде O және біліктер OX және OY . Алайық, бұл координаттар жүйесінде шеңбер орталығы нүктесі O және радиусы тең бірлікте. Болсын кесінді ШАҢЫРАҚ бұрылады арналған еркін бұрышы ϑ айналасында орталығының O.

Синусом бұрышының ϑ деп аталады қатынасы ординаты нүктелері A, ұзындығы кесіндінің ШАҢЫРАҚ. Білдіреді sinϑ=ACOA. Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда sinϑ=AC.

Косинусом бұрышының ϑ деп аталады қатынасы абсциссы нүктелері A, ұзындығы кесіндінің ШАҢЫРАҚ. Білдіреді cosϑ=OCOA. Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда cosϑ=OC.

Тангенсом бұрышының ϑ деп аталады қатынас нүктесінің ординаты A – абсциссе нүктесі A. Білдіреді tgϑ=ACOC (ағылшын әдебиеті tanϑ). Өйткені AC=sinϑ және OC=cosϑ, онда tgϑ=sinϑcosϑ.

Котангенсом бұрышының ϑ деп аталады қатынасы нүктелер абсциссы A – ординате нүктелері A. Білдіреді ctgϑ=OCAC (ағылшын әдебиеті cotϑ). Өйткені AC=sinϑ және OC=cosϑ, онда ctgϑ=cosϑsinϑ. Котангенс тең кері мәнге тангенса: ctgϑ=1tgϑ.

Секансом бұрышының ϑ деп аталады қатынасы кесіндінің ұзындығын ШАҢЫРАҚ – абсциссе нүктесі A. Білдіреді secϑ=OAOC. Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда secϑ=1OC. Секанс-ге тең кері мәнге косинуса: secϑ=1cosϑ.

Косекансом бұрышының ϑ деп аталады қатынасы кесіндінің ұзындығын ШАҢЫРАҚ – ординате нүктелері A. Білдіреді cosecϑ=OAAC (ағылшын әдебиеті cscϑ). Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда cosecϑ=1AC. Косеканс-ге тең кері мәнге синуса: cosecϑ=1sinϑ.

Из анықтау керек: егер косинус бұрышының нөлге тең болса, тангенс және секанс осы бұрышының анықталады. Ұқсас үшін котангенса және косеканса: егер синус бұрышының нөлге тең болса, котангенс және косеканс осы бұрышының анықталады.
Анықтау тригонометриялық функциялары арқылы қатарын Өңдеу
Пайдалана отырып геометриясы және қасиеттері шегінен болады екенін дәлелдеу туынды синуса тең косинусу және туынды косинуса тең минус синусу. Сол кезде пайдалануға болады теориясымен қатарлар Тейлор және ұсынуға синус және косинус сомасы түрінде степенных қатарлар:

sinx=x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋯=∑∞n=0(-1)nx2n+1(2n+1)!,
cosx=1−x22+x44!−x66!+x88!+⋯=∑∞n=0(-1)nx2n(2n)!.
Пайдалана отырып, осы формулаларды, сондай-ақ уравнениями tgx=sinxcosx, ctgx=cosxsinx, secx=1cosx және cosecx=1sinx табуға болады ыдырау бірқатар Тейлор және басқа да тригонометриялық функциялары:

tgx=x+x33+2×515+17×7315+62×92835+⋯=∑∞n=1(-1)n−122n(22n−1)B2n(2n)!x2n−1(−π2<x<π2), онда Bn — санының Бернулли.
secx=1+x22+5×424+61×6720+277×88064+⋯=∑∞n=0(-1)nE2n(2n)!x2n, мұндағы En — санының Эйлер.
Маңызы бар тригонометриялық функциялардың кейбір бұрыштарының Өңдеу
Маңызы бар синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса және косеканса кейбір бұрыштарының кестеде келтірілген.Тригонометриялық функцияларды — математикалық функцияларды бұрышынан. Олар маңызды геометрияны оқу барысында, сондай-ақ зерттеу кезінде мерзімді процестер. Әдетте тригонометриялық функциялар ретінде анықтайды тараптардың қарым-қатынастары тік бұрышты үшбұрыштың немесе ұзындығының белгілі бір кесінділерінің ” бірлік шеңбер. Қазіргі заманғы анықтау білдіреді тригонометриялық функциялары арқылы сомасының қатарлар немесе кейбір дифференциалдық теңдеулер кеңейтуге мүмкіндік береді облысы айқындау осы функцияларды еркін заттай санының және тіпті комплекс сандар.
Қазіргі уақытта бөледі алты негізгі тригонометриялық функциялары, төменде көрсетілген бірге уравнениями, связывающими олардың бір-бірімен. Үшін соңғы төрт функцияларын, осы ара деп жиі атайды анықтамалары осы функцияларды, алайда анықтауға болады бұл функцияны геометриялық немесе ма басқаша. С тригонометрическими функциялары тығыз байланысты кері атындағы функциялары.Анықтау үшін тригонометриялық функциялар болса, онда бұрышы α, алайық еркін тікбұрышты үшбұрыш бар бұрышы α. Тараптар осы үшбұрыштың біз атай:

Гипотенуза — тарап, противолежащая тікелей бұрышында, ең ұзын жағы үшбұрыш. Бұл жағдайда, тарап c.

Противолежащий катет — катет, лежащий қарама-қарсы бұрышының. Мысалы, катет a — противолежащий қатысты бұрышында A.

Жақын жатқан катет — катет, тарап болып табылатын бұрыш. Мысалы, катет b — жақын жатқан қатысты бұрышында A.

Біз болжауға, бұл үшбұрыш жатыр евклидовой жазықтықта, сондықтан оның бұрыштары тең болса, онда π. Бұл бұрыштары арасындағы катетами және гипотенузой жатыр арасында 0 және π/2. Пайдалана отырып, келтіру формулалары немесе анықтау арқылы единичную шеңбер, кеңейтуге болады облысы айқындау тригонометриялық функциялардың көптеген заттай сандар.
Синус бұрышының қатынасы противолежащего катета – гипотенузе: Бұл қатынасы тәуелді емес, таңдау үшбұрыштың ABC бар бұрышы α, өйткені мұндай үшбұрыштар ұқсас.
Косинус бұрышының қатынасы прилежащего катета – гипотенузе: Себебі синус бір өткір бұрышты үшбұрыш тең косинусу екінші, және керісінше.
Тангенс бұрышының қатынасы противолежащего катета – прилежащему:
Котангенс бұрышына қатынасы прилежащего катета – противолежащему: Котангенс бір сүйір бұрышының ” прямоугольном үшбұрыш тең тангенсу екінші, және керісінше.
Секанс бұрышына қатынасы гипотенузы – прилежащему катету:
Косеканс бұрышының қатынасы гипотенузы – противолежащему катету:

Анықтау тригонометриялық функциялар шеңбері арқылы
Секансом бұрышын деп аталады қатынасы кесіндінің ұзындығын ШАҢЫРАҚ – абсциссе нүктесі A. Білдіреді Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда Секанс тең кері мәнге косинуса:

Из анықтау керек: егер косинус бұрышының нөлге тең болса, тангенс және секанс осы бұрышының анықталады. Ұқсас үшін котангенса және косеканса: егер синус бұрышының нөлге тең болса, котангенс және косеканс осы бұрышының анықталады. Берсін жазықтықта бойда тік бұрышты координаттар жүйесі басталуымен нүктесінде O және біліктер OX және OY. Алайық, бұл координаттар жүйесінде шеңбер орталығы нүктесі O және радиусы тең бірлікте. Болсын кесінді ШАҢЫРАҚ бұрылады арналған еркін бұрышы айналасында орталығының O.

Синусом бұрышын деп аталады қатынасы ординаты нүктелері A, ұзындығы кесіндінің ШАҢЫРАҚ. Білдіреді, Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1 болса, онда

Косинусом бұрышын деп аталады қатынасы абсциссы нүктелері A, ұзындығы кесіндінің ШАҢЫРАҚ. Білдіреді, Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1 болса, онда

Тангенсом бұрышын деп аталады қатынас нүктесінің ординаты A – абсциссе нүктесі A. Білдіреді (ағылшын тіліндегі әдебиетте Сондай-ақ, онда

Котангенсом бұрышын деп аталады қатынасы нүктелер абсциссы A – ординате нүктелері A. Білдіреді (ағылшын тіліндегі әдебиетте де және Котангенс тең кері мәнге тангенса:

Косекансом бұрышын деп аталады қатынасы кесіндінің ұзындығын ШАҢЫРАҚ – ординате нүктелері A. Білдіреді (ағылшын тіліндегі әдебиеттерде Себебі кесіндінің ұзындығы ШАҢЫРАҚ тең 1, онда Косеканс тең кері мәнге синуса:
Анықтау тригонометриялық функциялары арқылы қатары

Пайдалана отырып геометриясы және қасиеттері шегінен болады екенін дәлелдеу туынды синуса тең косинусу және туынды косинуса тең минус синусу. Сол кезде пайдалануға болады теориясымен қатарлар Тейлор және ұсынуға синус және косинус сомасы түрінде степеных қатарлар:

Ең бірінші тригонометрической функциясы болатын хорда, тиісті осы доғасында. Бұл функция үшін салынған алғашқы тригонометриялық кестелер (ІІ в. до н. э.), қажетті астрономия.
Алғаш рет ғылым кезеңінде V-XII ғасырлардағы үнді математиктер мен астрономдар орнына толық хорда сызықтары болды қарауға жартысын хорда сызықтары, сәйкес келетін қазіргі заманғы ұғымына синуса. Шамасын жартысынан хорда сызықтары, олар атады “архиджива”, ол білдіреді “жартысы тетивы лука”. Сонымен sin x, үндістер қарастырдық, сондай-ақ шамасын 1 – cos x, олар деп атаған “комаджива” көлемін және cos x – “котиджива”.
Түсінігі осындай тригонометриялық функцияларды, тангенс, котангенс, секанс пен косеканс анықтады мүлдем қатаң негізге ала отырып, қарау тригонометрического шеңбер, ирандық математик Әбу-ль-Вефа. Қазіргі атауын осы функцияларды берілді кезеңі XV бойынша XVII ғасыр еуропалық ғалымдар. Осылайша, термин “тангенс” латын “касательная” енгізілді XV ғасырда негізін қалаушы тригонометрия Еуропадағы Региомонтаном. XVI ғасырда Финк енгізеді “термині секанс”. XVII ғасырда көмекшісі өнертапқыштың ондық логарифмов Бриггса ғалым Гюнтер енгізеді атауы “косинус” және “котангенс”, әрі сүйеу “ко” (co) білдіреді толықтыру (complementum).
Қазіргі заманғы белгілер синуса және косинуса белгілермен sin x және cos x алғаш рет енгізілді 1739 жылы И. Бернулли хатында петербургскому математика Л. Эйлеру. Соңғы қорытындыға келді, бұл белгілер өте ыңғайлы болып табылады, және олардың пайда өзінің математикалық жұмыстары. Сонымен қатар, Эйлер енгізеді мынадай қысқартылған белгілер тригонометриялық функциялардың бұрышын x: tang x, cot x sec x, cosec (x. Бұдан әрі Эйлер орнатты байланыс тригонометриялық функциялардың показательными берді ереже анықтау үшін белгілердің функцияларын түрлі четвертях шеңбер. Эйлер орнатты заманауи көзқарастарын тригонометриялық функция ретінде сандық сапасын қайта қарастыруды сұрайды.
В1770 ж. пайда болды және ұсталады күнге дейін атауы Тригонометриялық функциялар. Оның енгізді Г. С. Клюгель “жұмыста Аналитикалық тригонометрия”.1. Тригонометриялық функциялар білдіреді элементар функциялар, дәлел болып табылатын бұрыш. Көмегімен тригонометриялық функциялардың сипатталады ара тараптар арасындағы өткір бұрыштармен прямоугольном үшбұрыш. Қолдану тригонометриялық функциялары өте әр түрлі болып табылады. Осылайша, мысалы, кез келген мерзімді процестер түрінде көруге болады сомасы тригонометриялық функциялар (Фурье қатарының). Осы функцияларды жиі пайда болады шешу кезінде, дифференциалдық және функционалдық теңдеулер.

2. – Тригонометрическим функцияларына мыналар 6 функциялар: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс пен косеканс. Әрбір көрсетілген функциялар бар кері функция тригонометрическая.

3. Геометриялық анықтау тригонометриялық функцияларды ыңғайлы енгізу арқылы бірлі-жарым шеңбер. “Келтірілген төмендегі суретте шеңбер радиусы r=1. “Шеңбер белгіленген нүктесі M(x,y). Арасындағы бұрыш, радиус-векторы OM және оң бағыты осі Ox тең α.

4. Синусом бұрышын α деп аталады қатынасы ординаты y нүктесі M(x,y) радиусы r:
sinα=y/r.
Себебі r=1 болса, онда синус тең ординате нүктесі M(x,y).

5. Косинусом бұрышын α деп аталады қатынасы абсциссы х нүктесі M(x,y) радиусы r:
cosα=x/r

6. Тангенсом бұрышын α деп аталады қатынасы ординаты y нүктесі M(x,y) – ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом бұрышын α деп аталады қатынасы абсциссы х нүктесі M(x,y), оның ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс бұрышына α − қатынасы радиусы r – абсциссе x нүктесінен x-M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс бұрышын α − қатынасы радиусы r – ординате y нүктесі M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Жеке шеңбердің проекциясы x, y нүктесінің x-M(x,y), радиусы r құрайды тікбұрышты үшбұрыш, онда x,y болып табылады катетами, ал r − гипотенузой. Сондықтан, жоғарыда келтірілген анықтамалар тригонометриялық функциялардың қосымшасында тікбұрышты үшбұрышқа тұжырымдалады осылайша:
Синусом бұрышын α деп аталады қатынасы противолежащего катета – гипотенузе.
Косинусом бұрышын α деп аталады қатынасы прилежащего катета – гипотенузе.
Тангенсом бұрышын α деп аталады противолежащего катета – прилежащему.
Котангенсом бұрышын α деп аталады прилежащего катета – противолежащему.
Секанс бұрышына α білдіреді қатынасы гипотенузы – прилежащему катету.
Косеканс бұрышын α білдіреді қатынасы гипотенузы – противолежащему катету.

11. Синус функциясының графигі
y=sinx, область анықтау: x∈R, мәндер облысы: -1≤sinx≤1

12. Косинус функциясының графигі
y=cosx, область анықтау: x∈R, мәндер облысы: -1≤cosx≤1

13. Тангенс функциясының графигі
y=tanx, область анықтау: x∈R,x≠(2k+1)π/2, мәндер облысы: −∞<tanx<∞

14. Котангенс функциясының графигі
y=cotx, область анықтау: x∈R,x≠kπ, мәндер облысы: −∞<cotx<∞

15. Функциясының графигі секанс
y=secx, область анықтау: x∈R,x≠(2k+1)π/2, мәндер облысы:secx∈(−∞,-1]∪[1,∞)

16. Функциясының графигі косеканс
y=cscx, область анықтау: x∈R,x≠kπ, мәндер облысы: cscx∈(−∞,-1]∪[1,∞)

Онда қолданылады тригонометрия
Тригонометриялық есептеулер қолданылады іс жүзінде барлық салаларында адамдардың тіршілік етуі. Атап өткен жөн қолдану сияқты салаларда: астрономия, физика, табиғат, биология, музыка, медицина және басқа да көптеген.

Тригонометрия астрономияның:

Қажеттілік шешуде үшбұрыштар бұрын барлығы обнаружилась астрономияның; сондықтан, ұзақ уақыт бойы тригонометрия дамыды және зерттелмеген бірі ретінде бөлімдерінің астрономия.

Қажеттілік шешуде үшбұрыштар бұрын барлығы обнаружилась астрономияның; сондықтан, ұзақ уақыт бойы тригонометрия дамыды және зерттелмеген бірі ретінде бөлімдерінің астрономия.

Жасалған Гиппархом кестелер ережелерін, Күннің және Айдың мүмкіндік берді предвычислять сәттер басталған затмений (с ошибкой 1-2 сағ). Гиппарх тұңғыш рет пайдалануға астрономия әдістері сфералық тригонометрия. Ол повысил дәлдігін бақылау қолданып, дәлдеу үшін шырақ крест жіптердің угломерных құралдары — секстантах және квадрантах. Ғалым құрады замандарға бойынша үлкен каталог ережелерін 850 жұлдыздарының, қолдап, олардың блеску 6 дәрежелі (жұлдызды шамалар). Гиппарх енгізген географиялық координаттары — кеңдік пен долготу, және оның негізін қалаушы деп санауға болады математикалық география. (шамамен 190 б. э. дейінгі — шамамен 120 б. э. дейін)

Қол жеткізу Виета ” тригонометрия
Толық шешім міндеттері анықтау туралы барлық элементтерін жазық немесе сфералық үшбұрыштар үш деректері элементтері, маңызды ыдырау sin инженерлік және cos фи дәрежелері бойынша cos х және sinx. Білу формулалар синустардың және косинусов еселі доғалары мүмкіндік берді Виету теңдеуді шешу 45-ші дәрежелі ұсынылған математик А. Рооменом; Виет көрсеткендей, бұл шешім осы теңдеулер азайтатын бөлу бұрышын 45 тең бөлшектер мен бар 23 оң тамыры осы теңдеулер. Виет шешті міндетін Аполлония сызғыш арқылы және циркуля.
Шешім сфералық үшбұрыштар міндеттерінің бірі астрономия Есептеуге тараптар мен бұрыштары кез-келген сфералық үшбұрыштың үш қолайлы түрде берілген тараптарға немесе бұрыштары мүмкіндік береді мынадай теоремалар: (теорема синустардың) (теорема косинусов бұрыштары үшін) (теорема косинусов тараптар үшін).

Тригонометрия физика:

Бізді қоршаған ортада тиесілі тап мерзімді жатқан процестерді қайталанады арқылы бірдей уақыт аралығы. Бұл процестер деп аталады колебательными. Тербеліс құбылыстары әр түрлі физикалық табиғаттың жалпы заңдылықтарына бағынады және сипатталады бірдей уравнениями. Әр түрлі түрлері тербелмелі құбылыстар.

Гармоническое ауытқуы құбылыс мерзімдік өзгерістер қандай да бір шаманың, онда тәуелділік сапасын қайта қарастыруды сұрайды сипаты бар функцияларды синуса немесе косинуса. Мысалы, жан-жақты ауытқиды шамасы, өзгермелі уақыт төмендегідей:

Мұндағы х — мәні өзгеретін шама, t — уақыт, А — тербеліс амплитудасы, ω — циклдік тербеліс жиілігі, — толық тербеліс фазасы, r — бастапқы тербеліс фазасы.

Жалпыланған гармоническое ауытқуы, қазақстан дифференциальном түріндегі,” x + ω2x = 0.

Механикалық тербелістер . Механикалық ауытқуы деп атайды денелердің қозғалыс, қайталанатын, дәл арқылы бірдей уақыт аралығы. Графикалық бейнесі осы функциялар туралы көрнекі ұсынысты береді айналдырушы тербелмелі процесс. Мысалдары қарапайым механикалық тербелмелі жүйелер бола алады серіппедегі жүк және немесе математикалық маятник.

Тригонометрия табиғатта.

Біз жиі задаем вопрос “Неге біз кейде көреміз жоқ нәрсе, шын мәнінде?”. Зерттеу үшін келесі мәселелер ұсынылады: “кемпірқосақ Қалай пайда болады? Северное сияние?”, Бұл оптикалық иллюзия?” ,”Тригонометрия көмектесе алады табуға болады осы сұрақтарға жауап керек?”.

Алғаш рет теориясы кемпірқосақ берілді ” 1637 жылы Рене Эстетика. Ол түсіндірді радугу, құбылыс ретінде, байланысты көрсете отырып, және преломлением жарықтың жаңбыр тамшыларда жазылады.

Северное сияние Енуі, жоғарғы қабаттары атмосфера планета зарядталған бөлшектердің күн жел өзара іс-қимылымен анықталады магнит өрісі планета күн жел.

Күш әрекет ететін движущуюся магнит өрісінде заряженную бөлшекті деп аталады күшпен Лоренца. Ол пропорционалды заряду бөлшектер және векторному шығармасы өріс және қозғалыс жылдамдығы бөлшектер.

Көпфункционалды тригонометрия

· Американдық ғалымдар бекітеді, бұл ми бағалайды дейінгі қашықтық объектілердің измеряя бұрышы жазықтығы арасындағы жер және жазықтықпен көру.

· Сонымен қатар, биология пайдаланылады ұғым ретінде синус ұйқылы-ояу, синус каротидный және венозды немесе пещеристый синус.

· Тригонометрия маңызды рөл атқарады медицинада. Оның көмегімен ирандық ғалымдар формуласын жүрек – кешенді алгебраически-тригонометрическое теңдік тұратын 8 өрнектерді, 32 коэффициенттерін және 33 негізгі параметрлерін қоса алғанда, бірнеше қосымша есептеулер үшін жағдайларда аритмия.

Тригонометрия және тригонометриялық функцияларды медицина және биология.

· Бір іргелі қасиеттерін тірі табиғат – бұл кезеңділігі көптеген онда болып жатқан процестер.