Сабақта қарастырамыз шешу әдістері сызықтық теңдеулер жүйесі. Курста жоғары математика сызықтық теңдеулер жүйесін шешу қажет түрінде жекелеген тапсырмаларды, мысалы, “Шеше жүйесін Крамер формулалары бойынша”, сондай-ақ шешу барысында басқа міндеттерді. Жүйелерімен сызықтық теңдеулер тура келеді барлық бөлімдерінде жоғары математика.

Алдымен сәл теориясы. Бұл жағдайда білдіреді математикалық сөз “желілік”? Бұл теңдеу жүйесінің барлық айнымалылар кіреді, бірінші дәреже: без всяких причудливых заттар сияқты және т. б., мәз-мейрам болады математикалық олимпиадалардың қатысушылары.

Жоғары математика белгілеу үшін айнымалыларды пайдаланады таныс бала кезінен әріптер .
Өте танымал нұсқа – айнымалылары сәйкес индекстерімен: .
Не бастапқы әріптер латын әліпбиінің кішкентай және үлкен:
Тым сирек кездестіруге болады грек әріптері: – белгілі көптеген “альфа, бета, гамма”. Сондай-ақ, жинағы отырып, индекстерімен, айталық, әрпімен “мю”:

Пайдалану сол немесе өзге теру әріптердің байланысты тараудың “жоғары математика”, онда біз бетпе-бет жүйесі сызықтық теңдеулер. Мысалы, жүйелерінде сызықтық теңдеулер кездесетін шешу кезінде интегралдар, дифференциалдық теңдеулер дәстүрлі түрде пайдалану қабылданған белгілер

Бірақ сияқты бы не обозначались айнымалылар, принциптері, әдістері мен тәсілдері, шешім сызықтық теңдеулер жүйесін бұл өзгермейді. Осылайша, егер Сіз кездеседі ештеңе қорқынышты типті , асықпаңыз, қастерлеуі жабуға задачник, ақыр соңында, орнына болады салу күн, орнына – птичку, ал оның орнына – рожицу (оқытушы). Және бірде күлкілі, теңдеулер жүйесін деректермен белгілермен де шешуге болады.

Нәрсе менде бар, терезе-бап келетініне өте ұзын, сондықтан аз мазмұны. Сонымен, сөзбе-сөз “ұшуларды талдау” болады::

Шешім сызықтық теңдеулер жүйесін әдісімен подстановки (“мектеп”әдісі);
– Жүйесін шешу әдісімен почленного қосу (шегеру) теңдеулер жүйесі;
– Жүйесін шешу Крамер формулалары бойынша;
– Шешім жүйесінің көмегімен кері матрицаны;
– Шешім жүйесін Гаусс әдісімен.

Жүйелерімен сызықтық теңдеулер барлық таныс-мектеп математика курсының. Істің мәні бойынша, бастаймыз қайталау.
Шешім сызықтық теңдеулер жүйесін әдісімен подстановки
Бұл әдіс сондай-ақ, деп атауға болады “мектеп” әдісімен әдісімен немесе алып тастау белгісіз. Бейнелеп айтқанда, оны тағы да атауға болады “недоделанным Гаусс әдісімен”.

1-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін:
Мұнда біз дана жүйесі екі теңдеулер екі белгісіз. Назар аударыңыз, бос мүшелері санынан 5 және 7) сол жақ бөлігінде орналасқан теңдеулер. Жалпы айтқанда, айырма, онда олар, сол немесе оң жаққа, жай ғана міндеттер жоғары математика бойынша олар жиі орналасқан, сондықтан. Және мұндай жазба тиіс келтіруге есінен, қажет болған жағдайда жүйесіне әрдайым жазуға болады “әдетте”: . Ұмытпаймыз, не при переносе қосылғыш бір бөлімнен бір бөлімге оған өзгерту керек белгісі.

Бұл шешу теңдеулер жүйесін? Шешу теңдеулер жүйесін – бұл көп табуға болады, оның шешімдер. Шешім жүйесін білдіреді мәндер жиынтығы барлық оған кіретін айнымалылардың, ол аударады, ӘРБІР теңдеуі жүйенің дұрыс теңдік. Сонымен қатар, жүйе болуы мүмкін несовместной (болмауы шешімдер). Емес тушуйтесь, бұл жалпы анықтау =), онда барлығы бір ғана мәні “икс” және бір мағынасы “игрек” қанағаттандыратын әрбір теңдеуі-біз.

Бар графикалық әдісі шешу жүйесін таныса аласыздар сабағында Қарапайым міндеттері тікелей байланысты. Сол жерде мен туралы айтып берді геометриялық мағынада жүйесінің екі сызықты теңдеулер екі белгісіз. Бірақ қазір аулада эра алгебра және сандар-сандар, әрекет-әрекет.

Шешеміз: бірінші теңдеу выразим:
Алынған өрнек подставляем екінші теңдеуі:

Раскрываем жақшаға алынады келтіреміз осындай құрамдас бөліктері мен мәнін табамыз :

Бұдан әрі еске аламыз про болса, не би биледі, неше:
Мәні бізге белгілі қалды табу:

Жауап:

Кейін шешілетін КЕЗ келген теңдеулер жүйесі КЕЗ келген тәсілмен, табандылықпен ұсынамыз тексеруді орындау (ауызша, черновике не калькуляторе). Игілігі үшін, бұл оңай және тез.

1) Подставляем табылған бар бірінші теңдеуі :

– алынған дұрыс теңдік.

2) Подставляем табылған жауабы бар екінші теңдеуі :

– алынған дұрыс теңдік.

Немесе, егер айтуға оңай “барлық ұштасты”

Қараған шешудің тәсілі болып табылады, бірінші теңдеуі болады білдіруге емес .
Болады, керісінше – ештеңе білдіруге екінші теңдеулер және подставить бірінші теңдеуі. Айтпақшы, компания, ең невыгодный төрт тәсілі – білдіруге екінші теңдеуі:

Өнімділігі бөлшек, ал ол не үшін? Бар ұтымды шешім.

Дегенмен, бірқатар жағдайларда жоқ бөлшектерді дегенмен де, басқаша болуы мүмкін емес. Осыған байланысты, Сіздің назарыңызды аударғым болса, ҚАЛАЙ жазып алған өрнек. Емес: және ешқандай жағдайда да .

Егер жоғары математика Сіз ісі дробными сандар болса, онда барлық есептеулер тырысыңыз жүргізуге жай дұрыс емес дробях.

Дәл емес , немесе !

Үтір қолдануға болады, тек кейде, атап айтқанда, егер – бұл соңғы жауап қандай міндеттері, және бұл саны көп орындауға ешқандай әрекет.

Көптеген оқырмандар білетін шығар подумали “иә, неге мұндай егжей-тегжейлі түсіндіру үшін сыныптан түзету, және барлық түсінікті”. Олай емес, былай қарағанда осындай қарапайым мектеп үлгісі, қаншасы ӨТЕ маңызды тұжырымдар! Тағы бірі:

Кез келген тапсырманы орындауға ұмтылуы керек ең ұтымды тәсілі. Бұл уақытты үнемдейді және нервтердің, сондай-ақ ықтималдығын төмендетеді допустить ошибку.

Егер міндетте жоғары математика бойынша Сізге кездесті жүйесі екі сызықтық теңдеулер екі белгісіз болса, онда әрқашан әдісін қолдануға болады подстановки (егер көрсетілмесе, бұл жүйені шешу керек басқа әдіспен) Бірде-бір оқытушы подумает, сен жиде төмендетеді бағалауды пайдалану үшін “мектеп”әдісі.
Сонымен қатар, бірқатар жағдайларда метод подстановки пайдаланған кезде үлкен саны айнымалы.

2-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін үш белгісіз

Ұқсас теңдеулер жүйесі жиі пайдалану кезінде деп аталатын әдісін белгісіз коэффициенттерін, біз табамыз интеграл жылғы дробно-ұтымды функциясы. Қарастырылып отырған жүйесі алынды менімен де сол жерден.

Кезде интеграл мақсаты – жылдам табу коэффициенттерінің мәндері емес , изощряться формулалары Крамер, кері матрица әдісімен және т. б. Сондықтан, бұл жағдайда ма дәл метод подстановки.

Кезде дана кез келген теңдеулер жүйесі, ең алдымен, мүмкіндігінше анықтау, болмайды ма оны бір БІРДЕН жеңілдетуге болады? Талдай отырып, теңдеулер жүйесін, үзілген, екінші теңдеу жүйесін бөлуге болады 2 біз жасаймыз:

Анықтама: математикалық белгісін білдіреді “бұл-бұл”, ол жиі пайдаланылады барысында міндеттерді шешу.

Енді талдаймыз теңдеулер, бізге білдіруге қандай да бір айнымалы арқылы қалған. Қандай теңдеу таңдау керек? Бәлкім, Сіз оны сұраса, ол оңай барлық осы мақсаттар үшін алуға бірінші теңдеу жүйесі:

Мұнда без разницы қандай айнымалы білдіруге болады, осылай табысты білдіруге немесе .

Бұдан әрі, білдіру үшін подставляем екінші және үшінші теңдеулер жүйесі:
Раскрываем жақшалар келтіреміз осындай құрамдас бөліктері:
Үшінші теңдеуі бөлеміз 2:
Екінші теңдеулер выразим және подставим үшінші теңдеуі:

Іс жүзінде бәрі дайын, үшінші теңдеуін табамыз:
Екінші теңдеу:
Бірінші теңдеуі:

Жауап:

Тексеру: Подставим табылған маңызы бар ауыспалы сол бөлігі әрбір теңдеулер жүйесі:

1)
2)
3)

Алынуы тиісті оң жақ бөлігінде теңдеулер, осылайша, шешім дұрыс табылған.

3-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін 4-белгісіз

Бұл мысал үшін дербес шешімдер (жауабы сабақ соңында).
Жүйесін шешу әдісімен почленного қосу (шегеру) теңдеулер жүйесін
Барысында шешу сызықтық теңдеулер жүйесін пайдалануға барымызды салуымыз керек емес “мектеп” әдісі, әдісі почленного қосу (шегеру) теңдеулер жүйесі. Неге? Бұл уақытты үнемдейді және жеңілдетеді есептеулер, дегенмен, қазір болмақ, барлық түсінікті.

4-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін:
Мен алды сол жүйесі, бұл бірінші мысал.
Талдай отырып, теңдеулер жүйесін, үзілген, бұл коэффициенттер кезінде айнымалы бірдей модуль бойынша және противоположны таңба бойынша (-1, 1). Мұндай жағдайда теңдеу қосуға болады почленно:
Іс-әрекеттер обведенные қызыл түспен орындалады АҚЫЛ.
Өздеріңіз көріп отырғандай, нәтижесінде почленного қосу бізде жоғалып кеткен ауыспалы . Бұл, тегінде, тұрады әдістің мәні – құтылу бірі-ауыспалы.

Енді бәрі оңай: – подставляем бірінші теңдеу жүйесін айтуға болады, және екінші, бірақ бұл тиімді емес – онда саны көбірек):
“Чистовом ресімдеу шешім көрінуі керек шамамен:
Жауап:

Кейбір анық сұрақ: “Неге бұл изыски, егер сіз жай ғана білдіруге бір айнымалы арқылы басқа және подставить екінші теңдеуі?”.5-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін:

Мысалда пайдалануға болады “мектеп” әдісі, бірақ үлкен кемшілік мынада, біз боламыз білдіруге қандай да бір айнымалы кез-келген теңдеуі болса, онда аламыз шешімі жәй дробях. Ал возня с дробями уақыт алады, сонымен қатар, егер Сіз “набита қол” іс-әрекеттерінде с дробями, онда сірә допустить ошибку.

Сондықтан пайдаланған почленное қосу (азайту) теңдеулер. Талдаймыз коэффициенттері тиісті айнымалылар:
Көріп отырғанымыздай санын жұптасып (3 және 4), (4 -3) – әр түрлі, сондықтан, егер қосу (вычесть) теңдеулері қазір болса, онда айнымалы біз арыламыз. Осылайша, көргіміз келеді бір жұп бірдей модулі бойынша санының, мысалы, 20 және 20 немесе 20 -20.

Қарастыратын боламыз коэффициенттері кезінде айнымалы :
Дайындаймыз мұндай саны, ол делилось еді, 3 және 4, оның үстіне ол болуы тиіс мүмкіндігінше аз. Математика мұндай саны деп аталады ең төменгі жалпы атануда. Егер Сіз қиындықтарға тап болдыңыз таңдай отырып, онда жай ғана перемножить коэффициенттері:

Бұдан әрі:
Бірінші теңдеуі көбейтеміз
Екінші теңдеуі көбейтеміз

Нәтижесінде:
Міне, енді бірінші теңдеуі почленно вычитаем екінші. Өшіру көрсетемін тағы да әрекеттер жүргізілетін ақыл:

Жөн болар еді – керісінше екінші теңдеулер шегеруге бірінші, бұл ештеңені өзгертпейді.

Енді подставляем табылған мәні в какое-нибудь из теңдеулер жүйесін, мысалы, бірінші:
Жауап:

Шешеміз жүйесін басқа тәсілмен. Қарастырайық коэффициенттері кезінде айнымалы
Әлбетте, бұл орнына жұп коэффициенттерін (4 -3) бізге алуға 12 -12.
Бұл үшін бірінші теңдеуі көбейтеміз 3, екінші теңдеуі көбейтеміз 4:
Почленно складываем теңдеулер және табамыз маңызы бар айнымалы:
Жауап:

Екінші тәсіл бірнеше рациональнее қарағанда, бірінші, өйткені жинау оңай және жағымды қарағанда шегеру.

Жоғары математика әрқашанда жинау және көбейтіп, бағасын және бөлуге.

6-мысал

Шешу теңдеулер жүйесін:
Бұл мысал үшін дербес шешімдер (жауабы сабақ соңында).

Жалғасы сабақтың бетінде Ереже Крамер. Әдісі кері матрица >>>

Шешім сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін (САТЖ), әрине, болып табылады маңызды тақырыбы курс сызықтық алгебра. Үлкен міндеттердің бірі-барлық бөлімдер математика азайтатын шешімі сызықтық теңдеулер жүйесін. Осы факторлармен түсіндіріледі, себебі құру, осы баптың. Материал – таңдалынып алынды және құрылды, өйткені оның көмегімен, Сіз

таңдау оңтайлы шешу әдісі Сіздің сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелері,
зерттеп, теориясын таңдалған әдісті,
шешуге Сіздің теңдеулер жүйесін қарастырып, егжей-тегжейлі разобранные шешу тән мысалдар мен тапсырмаларды.
Курстың қысқаша сипаттамасы материал.

Алдымен берейік барлық қажетті анықтамалар, түсініктер мен енгізу жайында белгілеу.

Бұдан әрі қарастырайық шешу әдістері сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін, олардың саны теңдеулер санына тең белгісіз айнымалы және бар жалғыз шешім. Біріншіден, тоқталайық әдісі, Крамер, екіншіден, көрсетеміз матрицалық әдісі шешім осындай жүйелердің теңдеулер, үшіншіден, талқылайық Гаусс әдісі (әдісі дәйекті алып тастау белгісіз айнымалы). Теорияны бекіту үшін міндетті түрде шешеміз бірнеше САТЖ әртүрлі тәсілдермен.

Осыдан кейін көшейік шешу сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін жалпы түрі, олардың саны теңдеулер келмесе, саны белгісіз айнымалы немесе негізгі матрица жүйесі болып табылады азғындалған. Сформулируем теорему Кронекера – Капелли) жүйе орнату совместность САТЖ. Талқылайық жүйесінің шешімі (болған жағдайда олардың совместности) көмегімен ұғымдар базистік минора матрица. Сондай-ақ, қарастырайық Гаусс әдісі және егжей-тегжейлі сипаттау шешімдер мысалдар.

Міндетті түрде тоқталайық құрылымында жалпы шешімі біртекті және біртекті емес сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін. Берейік ұғымы іргелі шешімдер жүйесін тестілеу және кешенді тестілеу қалай жазылады жалпы шешімі САТЖ көмегімен векторлар жүйесінің іргелі шешімдер. Жақсы түсіну үшін талқылайық бірнеше мысалдар.

Қорытындысында қарастырайық теңдеулер жүйесін сводящиеся қарай желілік, сондай-ақ әртүрлі міндеттерді шешу кезінде пайда болатын, САТЖ.

Қарастыратын боламыз жүйесінің p сызықтық алгебралық теңдеулер n белгісіз айнымалы (p мүмкін сияқты n) түрі
формуласы

формула – белгісіз айнымалылар, формуласы коэффициенттері (кейбір нақты немесе комплекс сандар), формула – бос мүшелер (нақты немесе комплекс сандар).

Осындай нысанын жазу САТЖ координаталық деп атайды.

Матрицалық формадағы жазу бұл теңдеулер жүйесі түрі бар формуласымен
мұндағы формула – негізгі матрица жүйесі, формула – матрица-баған белгісіз айнымалы формула – матрица-баған бос мүшелері.

Егер матрицасы А қосу ретінде (n+1)-ші баған матрицасын-баған бос мүшелерінің, онда аламыз аталатын өлшемді кеңейтілген матрицасын сызықтық теңдеулер жүйесі. Әдетте кеңейтілген матрицасын білдіреді әрпімен Т, ал баған бос мүшелерінің туғаннан тік сызықпен қалған бағандарды, яғни,
формуласы

Шешімімен сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі деп атайды жинағы мәндері белгісіз болып келген айнымалы формула, обращающий барлық теңдеулер жүйесінің тепе -. Матричное теңдеу формуласы кезінде деректер мәндері белгісіз айнымалылар, сондай-ақ жүгінеді теңдік формуласы.

Егер теңдеулер жүйесі бар, ең болмағанда бір шешімі болса, онда ол деп аталады және бірлескен.

Егер теңдеулер жүйесі шешімдерінің бар болса, онда ол деп аталады несовместной.

Егер САТЖ бар жалғыз шешімі болса, онда оны деп атайды, белгілі; егер шешімдер біреуден артық болса, онда белгісіз күйде сақталып отыр.

Егер бос мүшелері барлық теңдеулер жүйесін нөлге тең болса, формула, онда жүйесі біртекті деп аталады, басқа жағдайда – неоднородной.

Басында беттер
Шешім қарапайым сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін.

Егер саны теңдеулер жүйесін тең саны белгісіз айнымалылар және анықтаушы оның негізгі матрицасының нөлге тең болмаса, онда мұндай САТЖ боламыз деп атауға қарапайым. Мұндай теңдеулер жүйесінің бар жалғыз шешім, бұл жағдайда, біртекті жүйенің барлық белгісіз айнымалылар нөлге тең болады.

Мұндай САТЖ бастадық зерттей орта мектепте. Оларды шешу кезінде біз алдық какое-нибудь бір теңдеу, выражали бір неизвестную переменную арқылы және басқа да подставляли оның қалған теңдеулер, артынан алдық мынадай теңдеу, выражали келесі неизвестную переменную және подставляли басқа теңдеу және олай бұдан әрі. Немесе пайдаланды әдісімен қосу, яғни, складывали екі немесе одан да көп теңдеулер болдырмау үшін кейбір белгісіз айнымалылар. Видео егжей-тегжейлі тоқтап, бұл әдістер, өйткені олар шын мәнінде болып табылады түр өзгерістерімен әдісі Гаусс.

Негізгі әдістермен шешу қарапайым сызықтық жүйелер теңдеулер болып табылады әдісі, Крамер, матрицалық әдісі және Гаусс әдісі. Талқылайық.

Шешім сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен.
Болсын бізге шешу қажет, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
формуласы
онда саны теңдеулер санына тең белгісіз айнымалылар және анықтаушы негізгі матрицасының жүйесін отличен нөлден, яғни, формула.

Болсын формуласы – анықтаушы негізгі матрица, формула – анықтауыштар матрицаларды, олар алатын көзден Ал ауыстырумен, 1-ші, 2-ші, …, n-ші бағанының тиісінше баған бос мүшелеріне:
формуласы

Мұндай обозначениях белгісіз айнымалылар есептеледі формулалар бойынша әдісі Крамер формуласы. Сонымен орналасқан шешім сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі Крамер әдісімен.

Мысал.

Шешіңіз теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен формуласы.

Шешімі.

Негізгі матрица жүйесі бар түрі формуласы. Вычислим оны анықтаушы (қажет болған жағдайда-бабын қараңыз анықтаушы матрицалар: анықтамасы, есептеу әдістері, үлгілері, шешімдер):
формуласы

Өйткені анықтаушы негізгі матрицасының жүйесін отличен нөлден болса, онда жүйе бар жалғыз шешім болуы мүмкін табылған Крамер әдісімен.

Құрамыз және вычислим қажетті анықтауыштар формуласы (анықтаушы формула аламыз полента в матрицасы А бірінші баған арналған баған бос мүшесінің формуласы, анықтаушы формула – толтыра отырып, екінші баған арналған баған бос мүшелерінің, формула – толтыра отырып, үшінші баған матрица А-баған бос мүшелерінің):
формуласы

Табамыз белгісіз айнымалылар формулалар бойынша формула:
формуласы

Жауап:

x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Негізгі кемшілігі әдісі Крамер (егер бұл атауға болады кемшілігі болып табылады еңбек сыйымдылығы есептеу анықтауыштың кезде саны теңдеулер жүйесінің көп.

Үшін егжей-тегжейлі ақпарат бөлімін қараңыз әдісі Крамер: қорытынды формулалар, мысалдар шешу.