Қазақстан тарихы[היום-מחר
Термині “функция” (кейбір неғұрлым тар мағынасында) алғаш рет қолданылды Лейбницем (1692 жылы). Өз кезегінде, Иоганн Бернулли хатында сол Лейбницу употребил бұл термин мағынасында, жақын қазіргі[1].

Бастапқыда функция ұғымы болды неотличимо жылғы ұғымдар талдау ұсыну. Кейіннен пайда анықтау функциялары, осы Эйлером (1751), содан кейін — Лакруа (1806 жылға дейін), — қазірдің өзінде іс жүзінде қазіргі түрінде. Ақырында, жалпы анықтау функциялары (оның қазіргі заманғы нысанда, бірақ сандық функциялар) берілді Лобачевским (1834 жыл), Лейден (1837 жылы)[2].

XIX ғасырдың аяғында функция ұғымы ауысқан балалық құштарлық шеңберін сандық жүйелер. Алдымен функция ұғымы таратылды арналған вектор функциялар, көп ұзамай Фреге енгізді логикалық функциялар (1879), ал кейін пайда болуы, теориясы, жиындар Дедекинд (1887) және Пеано (1911) сипаттап заманауи әмбебап анықтау.

Анықтау[היום-מחר

Функция, сопоставляющая әр төрт фигуралардың оның түсі.
Неғұрлым қатаң болып табылады теориялық-көпше анықтау функциясы (ұғымы негізінде бинарлық қатынастар). Жиі орнына белгілеу функциялары беріледі, функция ұғымы, яғни сипаттамасы математикалық объектінің көмегімен ұғымдарды қарапайым тілі”, “заң”, “ереже” немесе “сәйкестігі”.

Функция ұғымы[היום-מחר
Бұл көптеген {\displaystyle X} X бар функция (отображение, операция, оператор) {\displaystyle f} f мәндермен бірі {\displaystyle Y} Y, егер әрбір элемент {\displaystyle x} x көптеген {\displaystyle X} X-ереже бойынша {\displaystyle f} f қойылуы сәйкес біршама элемент {\displaystyle y} y көптеген {\displaystyle Y}, Y[1].

Сөйлейді сондай-ақ, бұл функция {\displaystyle f} f көрсетеді көптеген {\displaystyle X} X көптеген {\displaystyle Y} Y. Функциясын білдіреді, сондай-ақ жазумен {\displaystyle y=f(x)}, y=f(x).

Егер термині пайдаланылады оператор болса, онда бұл оператор {\displaystyle f}, f қолданылады көптеген {\displaystyle X} X көптеген {\displaystyle Y} Y қосады жазба {\displaystyle y=fx} y=fx.

Егер келетін астын сызу, бұл ереже сәйкестікті {\displaystyle f} f болып саналады белгілі айтатын болсақ, көптеген {\displaystyle X} X бойда функция {\displaystyle f} f, қабылдаушы маңызы бар {\displaystyle Y} Y. Егер функция {\displaystyle f} f болуы тиіс шешу нәтижесінде қандай да бір теңдеулер айтатын болсақ, {\displaystyle f} f — белгісіз немесе неявно берілген функция. Бірақ кез-келген жағдайда, функциясы, мәні бойынша осы ұғымдар болып саналады, берілген, бірақ жанама.

Егер элемент {\displaystyle x\in X} x\in X сопоставлен элементі {\displaystyle y\in Y} y\in Y болса, онда сол элементте {\displaystyle x} x қойылды ереже және сәйкестікті {\displaystyle f} f (ол әр түрлі болуы мүмкін әр түрлі элементтері). Демек, тапсырма сәйкестігін әрбір элементінде көптеген {\displaystyle X} X баламалы тапсырмасы функциялары {\displaystyle f} f бұл көптеген. Сондықтан, функция ұғымы тұжырымдауға болады жоқ ұғымдар ереже және оны белгілеу:

Бұл көптеген {\displaystyle X} X бойда функция {\displaystyle f} f, қабылдаушы маңызы бар {\displaystyle Y} Y, егер әрбір элемент {\displaystyle x} x көптеген {\displaystyle X} X қойылуы сәйкес біршама элемент {\displaystyle y} y көптеген {\displaystyle Y}, Y[3]. Функцияны білдіреді, сондай-ақ жазумен {\displaystyle y=f(x)}, y=f(x).

Мысалы, функциясы, берілген ” {\displaystyle X} X-кестеге жұп элементтерінің {\displaystyle x} x – {\displaystyle y} y, құрамында және, әдетте сәйкестік үшін әрбір элементінің бірі {\displaystyle X} X, өйткені маңызы бар функцияларды көшу кезінде элементтің элемент көптеген {\displaystyle X} X орналасады, әбден айқындалған ереже.

Үшін сандық функциялар, жиі қойылатын формулалары, функция ұғымы тұжырымдалған сәйкестік ретінде элементтері арасындағы жиындар арқылы. Ереже белгіленеді болдырмау үшін сәйкес келген белгілерді қағидалары мен функциялары:

Егер әрбір элемент {\displaystyle x} x көптеген {\displaystyle X} X-қандай да бір ереже қойылады сәйкес біршама элемент {\displaystyle y} y көптеген {\displaystyle Y} Y, онда көрсетілген сәйкестігі деп аталады функциясы {\displaystyle y=f(x)}, y=f(x), берілген көптеген {\displaystyle X} X-мәндермен бірі {\displaystyle Y}, Y[2][4]. Әріп {\displaystyle f} f бұл белгілеу — жеке белгісі функциялары.

Сонымен, функция {\displaystyle y=f(x)}, y=f(x) (немесе қысқаша: функция {\displaystyle f(x)} f(x) немесе {\displaystyle f} f) білдіреді үштігіне нысан: {\displaystyle X,f,Y} X,f,Y, мұнда

көптеген {\displaystyle X} X деп аталады облысымен тапсырма функциялары;
көптеген {\displaystyle Y} Y деп аталады облысымен мәндердің функциялары;
{\displaystyle f} f — ереже, ол бойынша әрбір элемент {\displaystyle x\in X} x\in X салыстырылады біршама элемент {\displaystyle y\in Y} y\in Y. Үшін ереже мұнда пайдаланылған сол белгісі, бұл мен үшін функциялары.
Белгіленген әрпімен {\displaystyle x} x әрбір элементі-көптеген {\displaystyle X} X деп аталады тәуелсіз айнымалы немесе дәлел функциялары. Көптеген {\displaystyle X} X-бұл деп аталады облысымен өзгерістер айнымалы {\displaystyle x} x -.

Элемент {\displaystyle y} y, тиісті тіркелген элементке {\displaystyle x} x деп аталады жеке мәнімен функциясының нүктесінде {\displaystyle x} x -.

Жиынтығы барлық жеке мәндері {\displaystyle y} y, обозначаемая символы {\displaystyle \{y\}} \{y\} деп аталады көптеген мәндердің функциялары.

Теориялық-көпше анықтау[היום-מחר
Жиын ұғымы реттелген бу (қарым-қатынас) мүмкіндік береді, алып тастау тұжырымын ұғымдар функцияларды ғана емес, түсінік ереже, бірақ ұғымы сәйкестігі, оған азайтатын функция ұғымы әдеттегі формулировках алдыңғы кіші бөлімге.

Осылайша, үшін функцияларды тұжырымдауға болады анықтамасы, пайдаланушы тек бастауыш математикалық ұғымдар пайдаланылады:

Функциясы {\displaystyle f} f деп аталады көптеген реттелген жұп {\displaystyle (x,y)\in X\times Y} (x,y)\in X\times Y, мұндай жұптар бар барлық элементтері үшін көптеген {\displaystyle X} X, егер алғашқы элементтері жұп сәйкес келеді, онда сәйкес келеді және екінші олардың элементтері[1].
Бұл ретте:

Көптеген {\displaystyle X} X деп аталады облысымен тапсырма функциялары;
көптеген {\displaystyle Y} Y деп аталады облысымен мәндердің функциялары
көптеген барлық элементтерінің {\displaystyle y\in Y} y\in Y, олар үшін бар бу {\displaystyle (x,y)\in f} (x,y)\in f, {\displaystyle x\in X} x\in X, деп аталады көптеген мәндердің функциялары;
көптеген реттелген жұп {\displaystyle f\subset X\times Y} f\subset X\times Y деп аталады сондай-ақ, кестеге функциялары түсінігі; графика функциялары мен ұғымы, функциялары мұндай айқындау кезінде функциялары сәйкес келеді. Кезінде тұжырымдалуы әдеттегі ұғымдар функция және оның графигіне деп аталады көптеген жұп {\displaystyle (x,f(x))} (x,f(x)).
Функциялары {\displaystyle f} f {\displaystyle g} g деп аталады тең, егер олардың графиктері сәйкес келеді[5].

Өйткені теңдік функциясының (кез келген тұжырымдалуы ұғымдар функциялары) ғана емес қамтиды совпадение ережесін арасындағы сәйкестікті элементтері бар жиындар, бірақ сәйкестік облыстардың тапсырмалар болса, онда функциялары {\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } {\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } {\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } {\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }, {\displaystyle \mathbb {R} } \mathbb {R} — көптеген заттай сандар, ал {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} \mathbb {R} ^{+} — көптеген оң заттай сандар болып табылады және әр түрлі функциялары.

Астам жалпы қамтитын, тек қана бір мәнді функциялар болып табылады келесі анықтама функциялары:

Функциясы {\displaystyle f} f деп аталады кез келген көптеген реттелген жұп {\displaystyle (x,y)\in X\times Y} (x,y)\in X\times Y[1].

Бұл ретте:

Көптеген {\displaystyle X} X деп аталады облысымен жөнелту қызметтері. Көптеген барлық элементтерінің {\displaystyle x\in X} x\in X, олар үшін бар бу {\displaystyle (x,y)\in f} (x,y)\in f деп аталады облысымен тапсырма функциялары;
көптеген {\displaystyle Y} Y деп аталады облысымен келген функциялар. Көптеген барлық элементтерінің {\displaystyle y\in Y} y\in Y, олар үшін бар бу {\displaystyle (x,y)\in f} (x,y)\in f деп аталады көптеген мәндердің функциялары.
Белгілер функциясын[היום-מחר
Егер көптеген {\displaystyle X} X бойда функция {\displaystyle f} f, қабылдаушы маңызы бар көптеген {\displaystyle Y} Y болса, онда