Осы диссертацияда метрикалық геометрияда және функционалдық талдауда пайда болған үш міндет қарастырылады, олардың екеуі тікелей жақындау теориясына жатады, ал үшіншісі онымен тығыз байланысты. Сонымен қатар, жұмыс барысында тегіс жанасқан дөңгелек доғалардың көмегімен жазық қисықтардың интерполяциясы туралы мәселе шешіледі – Орторекур-Лебег бойынша интегралданатын функцияларды неортогоналды емес жүйелер бойынша ыдыратудың сивті әдістері талқыланады – сондай-ақ жалпақ метрикасы бар Мебиус ленталары және олардың орташа сызықтарының қасиеттері, атап айтқанда, осы сызықтардың интегралды бұрылуымен байланысты зерттеледі. Барлық осы сұрақтар соңғы онжылдықтардың математикалық зерттеулерінде пайда болды,ал олардың қайнар көздері классикалық әдебиетте кездеседі.

Ашық 150 жыл бұрын, Мебиус таспасы және бүгінгі күні беймәлім беттің ең танымал үлгісі болып табылады. Оның құрылымы қарама-қарсы жақтардың бір жұбын теңдестіріп, қағаздың тікбұрышты парағын желімдеу түрінде белгілі, онда диагоналі тұйық қисық болады. Топология тұрғысынан алғанда, осылайша алынған беттің құрылысы күрделі емес, ал оның аналитикалық сипаттамасының міндеті өте прививиальды емес болып шықты.

Жер бетіне қандай да бір метрикалық шектеулер болмаған жағдайда, Мебиус лентасының алғашқы айқын мысалы 1900 жылы Машке қаласында табылған [1]. Гауссова бұл беттің қисығы барлық жерде теріс, сондықтан оны жазық тіктөртбұрыштың изометриялық бейнесі ретінде қарастыруға болмайды. Мебиуса1 стандартты таспа мысалының сипаттамасы Жергілікті-евклидтік метрикасы бар Аналитикалық бет ретінде, жалпы Мебиустың тікбұрышты парағына өлшенеді, тек 1990 жылы Шварцпен берілген [3]. Бұл ретте мұндай беттердің болуының дәлелі бұрын алынған және в. Вундерлих алғаш рет 1962 ж.жұмыста жарияланған [4], мұнда белгісіз түрде 39 дәреженің тиісті алгебралық беті табылған. В

1 этот термин жұмыста ұсынылды [2]. қазіргі әдебиетте бұл мәселе де жарық көрді, мұнда к. Чиконе мен Н. препринтті атап өту керек. Бұл мақаланы толықтырып, дамыту арқылы, Уикипедияға көмектесе аласыз.

Мебиустың жазық ленталарын зерттеу көп жағдайда орналасқан беттің асимптотикалық параметрленуін пайдалануға негізделген. Егер бағыттаушы ретінде Мебиус лентасының орта сызығы деп аталатын тікбұрышты табақтың орташа сызығының бейнесі таңдалады, онда бұл қисықтың қасиеттері бетті толығымен анықтайды, сондықтан арнайы зерттеуге лайық. Бұл саладағы қызықты нәтижелер Т. Рандруп пен П. Роджен в [7] алынды, ал бұл тақырыпты негізгі зерттеуді И. Х. Сабитов жүргізді [2].

Мебиус ленталарына арналған көптеген жұмыстарға қарамастан, бағыттаушы вариация кезінде асимптотикалық параметрлеу тұрақтылығын сақтау және Мебиустың жазық ленталарының иілу туралы сұрақтар зерттелмеген. Бұл сұрақтар бірінші тарауда қарастырылды, онда біз сондай-ақ жазықтыққа қысу кезіндегі қисықтардың интегралды айналуының тәртібі туралы жаңа және күтпеген нәтижелер алдық.

Екінші тарауда зерттелетін тапсырманы қоюға итермелейтін себеп қисықтың жалпы ұзындығы белгілі болған кезде s доғаның ұзындығының функциясы ретінде оның қисықтығы K (s) Берілген облысқа шеңбердің конформды бейнеленуін құруға қандай да бір көзқарасты табу ниеті болды. Мұндай жағдайларда қисық өзінің табиғи теңдеулері деп аталатын қозғалысқа дейінгі дәлдікпен анықталады, ал оның тұйықтығы тек кейбір арнайы жағдайларда ғана K (s) функциясына алынады. И. Х. жұмысында Сабитова [8] интегралды теңдеу алынды, алайда өте күрделі және қатты сызықсыз, оның шешімі осы қисық сызықпен қисықтың жорданалық жағдайын береді және сонымен бір мезгілде шеңбердің конформды бейнеленуін осы қисықпен шектелген облысқа табудың тәсілін берер еді . Бұл теңдеуде іздестірілетін қисық қисық оның қисығы арқылы қатысады, ал қисықтың тұрақтылығы кезінде теңдеудің шешімі тиісті шеңберге әкеледі. Идея k (s) бөлікті-тұрақты функцияларды жақындату және осы теңдеуді осындай аппроксимацияларда шешуге тырысу болды. 2.6-к е с т е.1-к е с т е. 1-к е с т е. 1-к е с т е. 1-к е с т е. 1-к е с т е. 1-к е с т е. 1-к е с т е. 2-к е с т е. 2-к е с т е. Бұл бағдарламаны іске асыру әзірге мүмкін болмады, бірақ осы қисықтың С1-тегіс дөңгелек сплайндармен ұзындығын сақтай отырып, аппроксимациясы туралы табиғи мәселе пайда болды.

Әдебиеттің белгілі авторына қисықтардың интерполяциясы кезінде дөңгелек доғаларды пайдалануға арналған бірнеше жұмыс бар. Олардың арасында ең алдымен В. А. Леустың мақаланы атап өту керек [9], мұнда с^-екі шеңбердің салмақтық сомасын білдіретін жазық қисықтардың тегіс жақындауы. Нәтижесінде, бастапқы қисыққа ұқсас тәртіптің стандартты бағаларымен осындай түрдегі аппроксимациялайтын қисықтарды құру алгоритмі ұсынылады. Бірақ бастапқы және аппроксимациялайтын қисықтар ұзындығының арақатынасы туралы мәселе қараудан тыс қалады. А. И. мақаласында Курносенко [10] талқыланады жазық қисық бір сарынды өзгерту қисықтық немесе деп аталатын спираль қисықтар. Бұл жерде автор аппроксимацияның нақты алгоритмін құруды мақсат етпейді,ал интерполяция түйіндерін таңдауда кейбір шектеулер кезінде осы қисықтың детерминациялануына баға береді. Сияқты мақаласында [9] туралы мәселе ұзындығында қисық мұнда талқыланбайды.

Осы жұмыстардан айырмашылығы, екінші тарауда біз классикалық қойылымдағы жазық қисықтарды дөңгелек сплайндармен жақындату туралы тапсырманы қарастырамыз,онда бастапқы және аппроксимациялайтын қисықтардың ұзындық теңдігінің шарты сапалы жаңа талап болып табылады. Біз интерполяцияның нақты алгоритмін келтіреміз және кейбір мағынада қателіктің жақсартылмайтын бағаларын аламыз. Бұл ретте біздің әдіс жабық және тұйықталмаған қисықтар үшін де жарамды, сондай-ақ бастапқы қисықта өздігінен қиылысудың болуына жол береді.

Үшінші тарауда функция теориясындағы аппроксимация әдістеріне арналған, Біз кеңістіктің Гильберт элементтерінің орторекурсивті ыдырауын неортогоналды емес жүйелер бойынша зерттейміз. Бұл Фурье классикалық қатарларын жалпылау, Бессель ұқсастығы, Бессель теңсіздігі, Парсеваль теңдігінің эквиваленттілігі және ыдыраудың ұқсастығы және т.б. сияқты қасиеттерге ие, Т. П. Лукашенко жұмыста ұсынылды [11]. Классикалық анықтамадан айырмашылығы, мұнда Фурье кезекті коэффициенті алдыңғы коэффициентке байланысты, ал ыдырау процесі рекурсивті түрде құрылады.

Мұндай тәсілде екі принципті әртүрлі болуы мүмкін

2 алынған комбинация шеңбер доғасы болмайтынын ескеру керек. сти: ыдырау жүйесі немесе ыдырау кезінде тіркеледі немесе өзгереді және алдыңғы қадамдарда алынған нәтижелерге байланысты болады. Бірінші жағдай В. В. Галатенконың және Т. П. Лукашенконың, В. А. Садовничигоның еңбектерінде ұсынылған. Дереккөздер [өңдеу] Сонымен қатар, алғаш рет рекурсивті ыдырау процесі Б. С. Стечкин және с. Б. Стечкинмен қаралған.

Орторекурсивті жақындау әдістерін зерттеу кезінде.- функциялардың, қызықты міндет т^-кеңістікте бір функцияның сығылуымен және ығыстыруымен пайда болған ыдырау жүйесін құру болып табылады. Егер бұл тапсырмадағы негізгі талап болса. / ^- Фурьенің ор-торекурсивті қатарының ыдырайтын элементке ұқсастығы, онда үздіксіз функциялар жағдайында оның біркелкі ұқсастығы қосымша шарт бола алады. Жұмысқа сүйене отырып, үшінші тарауда біз фреймдер теориясының кейбір қосалқы фактілерін пайдалана отырып, осындай жіктеу жүйесінің үлгісін сипаттаймыз.Гильберттік кеңістіктегі абстрактілі фрейм ұғымы алғаш рет 1952 жылы Р. Даффин мен А. Шефффердің жұмысында пайда болды. Қазіргі әдебиетте көптеген авторлар бұл ұғымды негізінен всплеск теориясында қолданады, оның негізін кітаптардан табуға болады [18], [19], және көптеген қосымшалардан табуға болады. Сонымен қатар, әр түрлі сигналдарды қалпына келтіру алгоритмдері және сигналдарды өңдеу бойынша [21] кітабы қарастырылады . Фреймді құрайтын элементтер жүйесін гильбертті кеңістіктерде (шексіз өлшемдердің кеңістіктерінде), сондай-ақ соңғы өлшемдік, евклидтік немесе унитарлы кеңістіктерде де қарастыруға болады. Екі жағдайда да негізгі міндеттердің бірі жалпы түрдегі фреймдерді құру немесе құрылымдық сипаттау болып табылады. Гильбертті кеңістіктерде бұл мәселені шешудегі конструктивтік тәсіл теореманы қамтамасыз етеді, оның бастауын М. А. Наймарктің жұмыс пайда болғанға дейін алынған нәтижелеріне жатқызуға болады [22] [17]. Осы теоремаға сәйкес, Парсевальдің кез келген фреймін ішкі кеңістікке ортогоналды жобалау кезінде ортонормаланған Базис үлгісі ретінде түсінуге болады. Осыған ұқсас сипаттамасы произвольных фрейм, бірақ пайдалана отырып, базисов Рисса табуға жұмысына Б. С. Кашина және Т. Ю. Куликовой [23]. Егер фреймдер туралы соңғы өлшемдік кеңістіктерде айтатын болсақ, онда Е. С. Драбкова мен С. Я. Новиковтың жұмыстарын және О. Христеннің монографиясын атап өтуге болады. Олардың біріншісі-фрейм болып табылатын векторлар жүйесі үшін қажетті және жеткілікті жағдайлар ұсынылған, сондай-ақ парсевальдің еркін көлемді фреймдерінің біркелкі (бірдей ұзындықтағы векторлардан тұратын) бар болуы көрсетілген. Үшінші тарауда біз евклидов кеңістігінің еркін базисін қатты фреймге дейін толықтыру алгоритмін құрудамыз, оның көлеміне баға береміз және жоғарыда көрсетілген орторекурсивті ыдырау жүйесін сипаттау кезінде алынған нәтижелерді қолданамыз. Берілген тапсырманы қорытындылай келе, осы жұмыстың мақсатын құрайтын негізгі міндеттерді атаймыз: * жалпақ метрикамен Мебиус лентасының иілу туралы және бағыттаушы вариация кезінде оның асимптотикалық параметрленуінің тұрақтылығын сақтау туралы сұрақтарды оқып үйрену. * Тұйық аналитикалық кеңістіктік қисықтардың жазықтыққа сығылуы кезіндегі интегралдық бұрудың шекті тәртібін үйрену. * Бастапқы қисықтың ұзындығын сақтау талаптарына жауап беретін және тұйық, сондай-ақ тұйықталмаған қисықтар үшін жарамды жазық қисықтардың айналмалы спрайлармен жақындау алгоритмін құру-аппроксимация қателігінің бағасын алу. * Қатаң фреймге дейін соңғы Евклид кеңістігінің еркін базисін толықтыру тәсілін сипаттау және оның көлемі туралы мәселені зерттеу •  * Гильбертті кеңістікте Лебег бойынша интеграцияланатын функцияларды сығумен және бір функцияның жылжуымен пайда болған орторекурсивті ыдырау жүйесін құру, ол үшін үздіксіз функциялардың Орторекурстық қатары біркелкі метрикада ыдырайтын элементке ұқсас болады. Ғылыми жаңалық. Диссертацияның нәтижелері Жаңа болып табылады және мыналардан тұрады • * Мебиустың стандартты лентасы сырғанаудың жетілмеген майысуына жол беретіні анықталды. Мебиустың жазық лентасының асимптотикалық параметрленуінің тұрақтылығы бағыттаушы вариация кезінде тұрақтылыққа ие емес. * Жазықтыққа сығылған кезде тұйық аналитикалық қисықпен шекті интегралды бұрау (ПИК) ұғымы енгізілді және шыңы барлық мүмкін мәндері 7 г еселік сандармен аяқталатыны дәлелденген. * Бастапқы қисықтың ұзындығын сақтау талаптарына жауап беретін, сапалы жақсартылмайтын аппроксимация қателігінің бағаларымен тегіс С3-тегіс қисықтарды дөңгелек сплайндармен жақындату алгоритмі сипатталған •  * Кеңістіктің евклидов еркін базисін қатты фреймге дейін толықтыру алгоритмі алынды және жалпы жағдайда мұндай фрейм көлемі векторлардың бастапқы жүйесінің көлемінен кем дегенде екі есе артық екені көрсетілген.

* Лебег бойынша интеграцияланатын функциялардың кеңістігінде әрекет ететін және бір функцияның сығылуы мен жылжуымен пайда болған орторекурсивті ыдырау жүйесі құрылған •  Үздіксіз функциялар жағдайында орторекурсивті қатар Фурье ыдырайтын элементке біркелкі түсетіні дәлелденді және біркелкі метрикада ыдырау қалдығының нормасының бағасы келтірілген. Зерттеу әдістері. Осы диссертацияда қойылған міндеттер негізінен классикалық математикалық талдау, сызықтық алгебра және дифференциалдық Геометрия әдістерімен шешіледі, ал кейбір идеялар қарапайым дифференциалдық теңдеулер және функционалдық талдау теориясынан алынған. Теориялық және практикалық құндылығы. Жұмыстың теориялық сипаты бар. Нәтижелер өрістетілетін беттерді зерттеулерде, инженерлік есептерде, конформалық бейнелеу теориясында, есептеу геометриясында және функцияларды жақындату теориясында қолданылуы мүмкін. Нәтижелерді апробациялау. Диссертация нәтижелері проф.И. Х. Сабитовтың (2007 — 2010) жетекшілігімен жалпы геометрия бойынша семинарда бірнеше рет баяндалды — проф. Т. П. Лукашенконың, доц басшылығымен & bdquo-Ортоподобные системы& quot семинарында. Т. В. Родионова, доц. В. В. Гала-тенко (2009) — & bdquo семинарында-геометрия және механиканың өзекті мәселелері& quot; – проф.Д. В. Георгиевскийдің, ст. Ғ. с. М. Шамолиннің, проф. С. А. Агафоновтың жетекшілігімен (2008, 2009) — & bdquo-Ортогональные ряды& quot семинарында – корр мүшесі. РҒА B. C. Кашина және проф. С. В. Конягин (2009) — проф. Г. М. Кобельковтың жетекшілігімен есептеу математика кафедрасының ғылыми-зерттеу семинарында (2009) — сонымен қатар 15-ші Саратов қысқы мектебінде (2010). Жарияланымдар. Диссертацияның негізгі нәтижелері автордың еңбектерінде жарияланған [32] – [34]. Диссертацияның қысқаша мазмұны бірінші тарауда жалпақ метрикасы бар Мебиус таспалары және кеңістіктік қисықтардың олармен байланысқан кейбір қасиеттері зерттеледі. Жұмыс барысында келесі анықтама енгіземіз. Беті S нөлдік гауссовой қисықтық диффео-морфную тікбұрышты парақ Мебиуса D, деп атайық лентамен Мебиуса жазық метрикой немесе жазық лентамен Мебиуса. S тіктөртбұрыштың D қосымша шарты кезінде Мебиус таспасына сәйкес стандартты деп атаймыз. Аналитикалық сыныпта Мебиустың жалпақ таспа беті болып табылады, онда асимптотикалық параметрлеу деп аталады. Мебиустың жалпақ ленталарын зерттеу барысында бағыттаушы ретінде тұйық сызық қолданылады, оның бойымен айналып өту кезінде бетіне қалыпты 180°бұрылады. Мұндай желіні біз ілмекті атаймыз. Сызықтық беттегі бағыттаушы біркелкі емес болғандықтан, ілмекті вариациялау кезінде асимптотикалық параметрлеу тұрақтылығының тұрақтылығы туралы сұрақ туындайды. Қойылған сұраққа жауап теріс, атап айтқанда, 1.1 әділ Теорема. Мебиустың аналитикалық жалпақ таспасында еш жерде құрушыларға қатысы жоқ қандай да бір Ілмек таңдалсын.

Содан кейін оның айналасындағы аз болса да, жаңа бағыттаушы құруға болады, ол ілмектер бола отырып, кейбір нүктеде құрастырушыға қатысты. Беттердің метрикалық теориясының негізгілерінің бірі қарастырылатын беттің иілу/иілу туралы мәселе болып табылады. Мебиустың стандартты лентасы жағдайында біз сырғанаудың майысуын құрамыз. Анықтау. Мебиустың D, D = {(ад, v) G R2 |0 < және < L,- h < V < h} тікбұрышты парағына жауап беретін s Мебиустың аналитикалық стандартты таспасы F: D -> М3 аналитикалық бейнесімен берілсін. Бұл ад, v) жолағында бейнелеуді жалғастырамыз? М2 / – оо < и < +оо,- H < v < h} F (u + L, v) = F (u, – v) теңдігінің көмегімен, ол бастапқыда тік шекаралардың жапсыруына сәйкес келеді.(u, v) = F (u + e, v). Сонда G құрамы? = F? F~y туралы: S -> S Мебиус таспасының сырғу деформациясын атаймыз. Біз мұндай деформация изометрия екенін дәлелдейміз, бұл ретте кейбір & pound-о > 0 үшін дЕ () тиісті композициясы IR3 кеңістігінің қозғалысымен тудырмайды-бұл жерде 1.2 теоремасы бар. Мебиустың кез-келген аналитикалық стандартты таспасы қисық емес майысуға жол береді. Мебиустың жазық ленталарын зерттеу кезінде кейбір жағдайларда интегралды айналудың берілген мәні бар Аналитикалық тұйық қисықтың болуын анықтау қажеттілігі туындайды ([2], [6] қараңыз). Оң мағынада бұл мәселе [2] және [26] жұмыстарында шешіледі, алайда толық баяндалмаған. Аталған жұмыстардың идеяларын пайдалана отырып, біз. ~ ұқсас бекітудің толық дәлелін келтіреміз, оны іздеген қисықта өзін-өзі кесудің болмауын талап ете отырып күшейтеміз. 1.3 теоремасы бар. Кез келген Сан үшін > cq XQ интегралды бұрылуымен өзін-өзі түсіндірусіз тұйық аналитикалық қисық бар. 1 теоремасында белгіленген өмір сүру фактісінің өзі. 3, үлкен қызығушылық білдірмейді, бірақ дәлел схемасы назар аударуға лайық. Мысалы, дәлелдер процесінде кейбір тұйық қисық жазықтыққа қысылады,ал оның интегралды бұрауы нөлге ұмтылады. Интегралды айналудың мұндай тәртібі әбден күтіледі, бірақ ол жеке жағдайларда ғана орын алады. Жалпы жағдайды сипаттау үшін келесі анықтама қажет. F (i), t Е [0,Т] кеңістіктік тұйық аналитикалық қисықты және Е нормалы п кейбір жазықтығын қарастырайық. (1-Лt Е [0, Т], ал арқылы f (t) қисығының интегралды айналуын белгілейміз . Ол кезде F (t) қисығының шекті интегралды бұрылуымен (ПИК) жазықтыққа қысу кезінде lim щпь (А) шамасын атаймыз.