Осьтік инерция моменті[өңдеу | қайнарын қарау]

Осьтік инерция моменттері кейбір тел
Сәті инерция механикалық жүйенің қозғалмайтын оське қатысты (“осьтік инерция моменті”) деп аталады шамасы Ja сомасына тең шығармаларының масс барлық n материалдық нүкте жүйесін квадраттарға олардың дейінгі қашықтық осьтер[1]:

{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}} {\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}},

онда:

mi — салмағы i-ші нүктеге,
ri — ара қашықтық, i-ші нүкте осіне дейін өтеді.
Осьтік инерция моменті дененің Ja шарасы болып табылады дене селқостығы кезінде айналмалы қозғалыс ось конденсаторы ретінде дене салмағы шарасы болып табылады оның селқостығы үдемелі қозғалысы.

{\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV} {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV},

онда:

dm = ρ dV — массасы шағын элементтің көлемінің дене dV,
ρ — тығыздығы,
r — қашықтық және элементтің dV осіне дейін a.
Егер дене однородно, яғни оның тығыздығы барлық жерде бірдей болса, онда

{\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.} {\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.}

Теорема Гюйгенса — Штейнера[היום-מחר
Толық мақаласы: Теорема Гюйгенса — Штейнера
Қатты дененің инерция моменті қатысты қандай да бір осіне тәуелді массасы, пішіні мен мөлшерін дене, сондай-ақ, және дене қалпын қатысты осы осі. Сәйкес теоремасы Гюйгенса — Штейнера, дененің инерция моменті J қатысты еркін осі сомасына тең инерция моментін осы дененің Jc қатысты осі арқылы өтетін масса центрі дененің параллель осі қарастырылып отырған және шығармаларын дене салмағының m квадрат қашықтығын d біліктердің арасындағы мынадай арақашықтықтарда[1]:

{\displaystyle J=J_{c}+md^{2}} {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}}

мұндағы m — толық салмағы.

Мысалы, кезінде сырықтың инерция өстері арқылы өтетін оның соңына тең болады:

{\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.} {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}

Үшін үлкен маңызы бар зерттеулер ішкі құрылымын, планеталардың және олардың серіктерінің бар олардың безразмерные инерция моменттері. Өлшемсіз инерция моменті дененің радиусы r және массасы m-ге тең қатысты оның инерция моментін айналу өсіне сәтте инерция материялық сол массасының қозғалмайтын оське қатысты айналу қашықтықта орналасқан r (тең mr2). Бұл шама көрсетеді бөлу массасының тереңдігі бойынша. Әдістерінің бірі оны өлшеу планеталардың және спутниктерді анықтау болып табылады доплеровского ығысу радиосигналды берілетін АДҚ-ны пролетающей шамамен осы планетаның немесе жерсерік. Үшін тонкостенной сала өлшемсіз инерция моменті-ге тең 2/3 (~0,67), біртекті шар — 0,4, және мүлдем аз, ол үлкен дене салмағы шоғырланған, оның орталығы. Мысалы, Айдың өлшемсіз инерция моменті жақын 0,4 (тең 0,391), сондықтан деп болжайды ол қатысты однородна, оның тығыздығы тереңдігі өзгереді аз. Өлшемсіз инерция моменті Жерлерге қарағанда төмен біртекті шар (тең 0,335), бұл дәйекке жұмыс істеуін және одан тығыз ядро[5][6].

Ортадан тепкіш инерция моменті[өңдеу | қайнарын қарау]
Орталықтан тепкіш инерция сәттері денеге қатысты осьтер тік бұрышты декартовой координаттар жүйесін деп аталады келесі шамасын[1][7]:

{\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV} {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV}

{\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV} {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV}

{\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV} {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV}

мұнда x, y және z координаттары шағын элемент дененің көлемі dV, тығыздығы ρ және массасы dm.

Осі OX деп аталады басты осі инерция дененің, егер орталықтан тепкіш инерция моменттері Jxy және Jxz бір мезгілде нөлге тең болады. Арқылы әрбір нүктесін дененің өткізуге болады үш негізгі осьтер инерция. Бұл ось өзара перпендикулярны бір-біріне. Инерция қатысты дененің үш бас инерция осьтерінің өткізілген еркін нүктесінде O дене деп аталады басты инерция сәттері осы дененің[7].

Бас өстер инерция орталығы арқылы өтетін масса дененің деп аталады бас орталық осьтері инерция дененің инерция қатысты осы осьтердің — оның басты орталық инерция сәттері. Осі симметрия біртекті дененің әрқашан бірі болып табылады, оның басты орталық инерция осьтерінің[7].

Геометриялық инерция моменттері[היום-מחר
Геометриялық инерция моменті көлемінің осіне қатысты — геометриялық сипаттамасы, дененің выражаемая формуласы[8]:

{\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV} J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,
қайда, қалай және бұрын, r — қашықтық және элементтің dV осіне дейін a.

Өлшемі JVa — ұзындығы бесінші дәрежелі ( {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}} } \mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}} ), тиісінше өлшем бірлігі СИ — м5.

Геометриялық ауданының инерция сәті осіне қатысты — геометриялық сипаттамасы, дененің выражаемая формуласы[8]:

{\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS} J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,
мұнда интегралдау бойынша орындалады бетінің S, dS — элементі бұл үстіңгі.

Өлшемі JSa — ұзындығы төртінші дәрежелі ( {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} ), тиісінше өлшем бірлігі СИ — м4. Құрылыс есеп айырысу, әдебиет және сортаментах металлопроката жиі көрсетіледі см4.

Арқылы геометриялық ауданының инерция сәті көрініс табады қимасының қарсыласу сәті:

{\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}} W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.
Мұнда бағаланатын максималды қашықтық бетінен осіне дейін өтеді.

Геометриялық алаңынан инерция кейбір фигуралардың
Тік төртбұрыштың биіктігі {\displaystyle h} h және ені {\displaystyle b} b: {\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}} J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}
{\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}} J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}

Тік бұрышты қораптық бөліністі биіктігі және ені бойынша сыртқы контурлары {\displaystyle H} H {\displaystyle B} B, ал ішкі {\displaystyle h} h {\displaystyle b} b, тиісінше, {\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})} J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})
{\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})} J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})

Шеңбердің диаметрі {\displaystyle d} d {\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}} J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}
Инерция моменті жазықтықта қатысты[היום-מחר
Сәті қатты дененің инерция қатысты белгілі бір жазықтық деп атайды скалярную шамасына тең сомада шығармаларының массасының әрбір нүктесіне дене квадрат арақашықтық осы нүктеге дейін қарастырылатын жазықтықтағы[9].

Егер тараптың еркін нүктесін {\displaystyle O} O өткізу координаталық ось {\displaystyle x,y,z} x,y,z, онда инерция қатысты координаттық жазықтықтың {\displaystyle xOy} xOy, {\displaystyle yOz} yOz және {\displaystyle zOx} zOx көрініс табатын болады формулалары:

{\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ } J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,
{\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ } J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,
{\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ } J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .
Жағдайда жаппай дене жиынтықтау ауыстырылады біріктіру.

Орталық инерция моменті[өңдеу | қайнарын қарау]
Орталық инерция моменті (инерция моменті нүктеге қатысты O, инерция моменті қатысты полюсі, полярлық инерция моменті) {\displaystyle J_{O}} {\displaystyle J_{O}} — бұл анықталатын шама білдіру[9]:

{\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV} {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV},

онда:

{\displaystyle dm=\rho dV} {\displaystyle dm=\rho dV} — масса шағын элементтің көлемінің дене {\displaystyle dV} dV,
{\displaystyle \rho } \rho — тығыздығы,
{\displaystyle r}, r — ара қашықтық элементінің {\displaystyle dV} dV-ші нүктеге дейін O.
Орталық инерция моменті білдіруге болады арқылы басты осьтік инерция моменттері арқылы, сондай-ақ инерция қатысты жазықтықтың[9]:

{\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right)} {\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right)},
{\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}} {\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}}.
Тензор инерция және эллипсоид инерция[היום-מחר
Дененің инерция моменті қатысты еркін осі орталығы арқылы өтетін масса және бар бағыт берілген жекелей векторы {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1}, түрінде көруге болады квадраттық (билинейной нысаны:

{\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}}\qquad } {\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}}\qquad } (1),
онда {\displaystyle {\hat {J}}} {\displaystyle {\hat {J}}} — тензор инерция. Матрица инерция тензора симметрична, оның өлшемі {\displaystyle 3\times 3} 3\times 3 тұрады компонент ортадан тепкіш сәттерді:

{\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert } {\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert } , {\displaystyle J_{xy}=J_{yx},J_{xz}=J_{zx},J_{zy}=J_{yz},} {\displaystyle J_{xy}=J_{yx},J_{xz}=J_{zx},J_{zy}=J_{yz},}
{\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,J_{rus}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm} {\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,J_{rus}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm}.
Таңдау тиісті координаттар жүйесін матрица инерция тензора мүмкін келтірілген диагональному түрі. Бұл міндетті шешу туралы меншікті мәндері үшін матрица тензора {\displaystyle {\hat {J}}} {\displaystyle {\hat {J}}}:
{\displaystyle {\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}};} {\displaystyle {\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}};} {\displaystyle {\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array}}\right\Vert } {\displaystyle {\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array}}\right\Vert },
онда {\displaystyle {\hat {Q}}} {\displaystyle {\hat {Q}}} — ортогональ матрица көшу меншікті базис инерция тензора. Өз базисе координаттық өстер бойымен бағытталған негізгі осьтер инерция тензора, сондай-ақ сайма-басты полуосями эллипсоида инерция тензора. Шамасы {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} — басты инерция моменттері. Білдіру (1) өз координат жүйесінде түрі бар:

{\displaystyle I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{2}} {\displaystyle I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{2}},
қайдан сонда теңдеу эллипсоида меншікті координаттары. Қолдап, екі бөлігін теңдеулер ” {\displaystyle I_{s}} {\displaystyle I_{s}}

{\displaystyle \left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Z}=1} {\displaystyle \left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Z}=1}
мен жүргізіп ауыстыру: